光纤中非线性薛定谔方程的求解摘要：本文介绍一种求解光纤中非线性薛定谔方程的方法：分步傅里叶变换法。 由于光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到色散效应和非线性效应的影响。所以 利用分步傅里叶变换法，先考虑光信号在光纤中传输一段微小距离的情况下，先 计算色散效应对光脉冲的影响，然后再计算非线性效应对光脉冲信号的影响，进 而近似求出非线性薛定谔方程的数值解。最后，应用 MATLAB软件来数值仿 真这个数值解，仿真结果可以清晰看到色散效应对光脉冲的脉冲展宽，以及非线 性效应对光脉冲的影响。关键词：非线性薛定谔方程、分布傅里叶变换、Matlab引言：非线性薛定谔方程是光纤中传输的基本方程，一般情况，在达到相同精度， 由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分 法运算速度快一到两个数量级。本文通过借助Matlab编程通过分步傅里叶法数 值求解非线性薛定谔方程，最终用Matlab进行仿真。1、非线性薛定谬方程非线性薛定谔方程，简称NLS方程，是一个非线性偏微分方程，通常情况 下无法求出解析解，只能求出它的数值解。在含有非线性色散介质地脉冲传输问 题中应用非常广泛。非线性薛定谔方程的基本形式为：iu = u + 2 u |2 u其中u是未知的复值函数。“一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效 应的影响。通过Matlab方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光 信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。一般很难直接求出解析解，于 是通过数值方法进行求解。具体分为两大类：（1）分布有限差分法；（2）分步傅里 叶变换法。一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快 的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。2、 Matlab的编程思路沿光纤的长度方向，色散和非线性是同时作用的。分步傅立叶法假设在传输 过程中，光场每通过一小段距离h，色散和非线性效应可以分别作用，得到近似 结果。第一步，只有非线性作用，则方程6U=（D + N ）Udz.一人，,-一 一人其中D =0；第二步，再考虑线性作用，方程中的中的N =0。接下来就可以分别求解非线性作用方程和线性作用方程，讨论分步傅立叶法的数值算法。由于方程邑=Dudz邑顼. U dz是一个偏微分方程，需要通过傅立叶变换把偏微分方程转换为代数方程，进 行运算。傅立叶变换的定义如下：rF U (z, T) = U (z,)=J*00 U (z, T )exp( iwT )dT-sF-i U (z,)=U (z, T) = J+0 U (z,)exp( iT )dTI2 兀s在计算FU(z,T)时一般采用快速傅立叶变换(FFT)算。为了保证精度要 求，一般还需要反复调整纵向传输步长z和横向脉冲取样点数T来保证计算精度。总的来讲其步骤首先要将带求解的非线性薛定谔方程进行振幅归一化，接下 来进行线性算符方程的求解和非线性算符方程的求解，运行程序就可得出线性算 符和非线性算符的精确数值解及其仿真曲线。3、Matlab算法编程及代码在Matlab中，设有限时长序列x(n)的长度为N(1 n abs(max(u)/2);fwhm1=length(fwhm1);dw=1/l/dt*2*pi;w=(-1*l/2:1:l/2-1)*dw;u=fftshift(u); %零延迟对中的谱w=fftshift(w); %零延迟对中的谱spectrum=fft(fftshift(u); %快速离散傅立叶变换for jj=h:h:zspectrum=spectrum.*exp(g1); %g1为线性算符e的指数表达式 f=ifft(spectrum); %快速离散反傅立叶变换 f=f.*exp(g2);%g2为非线性算符e的指数表达式 spectrum=fft(f); %快速离散傅立叶变换spectrum=spectrum.*exp(g1);endf=ifft(spectrum); %快速离散反傅立叶变换 op_pulse(ln,:)=abs(f);%保存在所有间隔点上的输出脉冲 fwhm=find(abs(f)abs(max(f)/2);fwhm=length(fwhm);ratio=fwhm/fwhm1;pbratio(ln)=ratio;dd=atand(abs(imag(f)/(abs(real(f);phadisp(ln)=dd;%保存脉冲相位ln=ln+1;endtoc;cputime=toc;figure(2);mesh(op_pulse(1:1:ln-1,:);title(Pulse Evolution);xlabel(Time); ylabel(distance); zlabel(amplitude);figure(3)plot(pbratio(1:1:ln-1),k);xlabel(Number of steps);ylabel(Pulse broadening ratio);grid on;hold on;figure(4)plot(phadisp(1:1:ln-1),k);xlabel(distance travelled);ylabel(phase change);grid on;hold on;disp(CPU time:), disp(cputime);