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加法原理习题3答案:1、在小于10000的自然数中,含有数字1的数有多少个?解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数,凡位数不到四位的自然数在前面补0使之成为四位数先求不含数字1的这样的四位数共有几个,即有0,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字所组成的四位数的个数由于每一位都可有9种写法,所以,根据乘法原理,由这九个数字组成的四位数个数为99996561,其中包括了一个0000,它不是自然数,所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560,于是,小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个2、两次掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?分析与解:两次的数字之和是偶数可以分为两类,即两数都是奇数,或者两数都是偶数。因为骰子上有三个奇数,所以两数都是奇数的有33=9(种)情况;同理,两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理,两次出现的数字之和为偶数的情况有9918(种)。用1,2,3,4这四种数码组成五位数,数字可以重复,至少有连续三位是1的五位数有多少个?分析与解:将至少有连续三位数是1的五位数分成三类:连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。连续五位是1,只有11111一种;中任一个,所以有336(种);34433333(种)。由加法原理,这样的五位数共有163340(种)。在此题中,我们先将这种五位数分为三类,以后在某些类中又分了若干种情况,其中使用的都是加法原理。下图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的O点出发,沿着横线与竖线爬行,可上可下,可左可右,但最后仍要回到AB上(不一定回到O点)。如果小虫爬行的总长是3,那么小虫有多少条不同的爬行路线?分析与解:如果小虫爬行的总长是2,那么小虫从AB上出发,回到AB上,其不同路线有6条(见左下图);小虫从与AB相邻的直线上出发,回到AB上,其不同路线有4条(见下图)。实际上,小虫爬行的总长是3。小虫爬行的第一步有四种情况:向左,此时小虫还在AB上,由上面的分析,后两步有6条路线;同理,向右也有6条路线;向上,此时小虫在与AB相邻的直线上,由上面的分析,后两步有4条路线;同理,向下也有4条路线。根据加法原理,共有不同的爬行路线664420(条)1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船,那么共有多少种不同的走法?2.光明小学四、五、六年级共订300份报纸,每个年级至少订99份报纸。问:共有多少种不同的订法?3.将10颗相同的珠子分成三份,共有多少种不同的分法?4.在所有的两位数中,两位数码之和是偶数的共有多少个?1.用五种颜色给右图的五个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?2.用1,2,3这三种数码组成四位数,在可能组成的四位数中,至少有连续两位是2的有多少个?3.下图中每个小方格的边长都是1。有一只小虫从O点出发,沿图中格线爬行,如果它爬行的总长度是3,那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条?下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点,其中经过C点和D点的不同路线共有多少条? 分析与解:本题可以同例2一样从A标到B,也可以将从A到B分为三段,先是从A到C,再从C到D,最后从D到B。如上图所示,从A到C有3种走法,从C到D有4种走法,从D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的,所以应该用乘法原理,不同的路线共有34672(条)。沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法?分析与解:如右上图所示,先标出到C点的走法数,再标出到D点和E点的走法数,然后标出到F点的走法数,最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法有15根火柴,如果规定每次取2根或3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法? 分析与解:为了便于理解,可以将本题转变为“上15级台阶,每次上2级或3级,共有多少种上法?”所以本题的解题方法与例1类似(见下表)。 注意,因为每次取2或3根,所以取1根的方法数是0,取2根和取3根的方法数都是1。取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和,即011。依此类推,取n根火柴的方法数是取(n-3)根与取(n-2)根的方法数之和。所以,这串数(取法数)中,从第4个数起,每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴共有28种不同取法。1.小明要登15级台阶,每步登1级或2级台阶,共有多少种不同登法?2.小明要登20级台阶,每步登2级或3级台阶,共有多少种不同登法?20=30210 C(10,0)1种 3227 C(9,2)36种 3424 C(8,4)70种 3621 C(7,1)7种所以,共有136707114种不同的登法。2.现有1角人民币4张,2角的人民币2张,1元的人民币3张。如果从中至少取1张,至多取9张,那么共可配成多少种不同的钱数?3.有一堆火柴共10根,每次取走13根,把这堆火柴全部取完有多少种不同取法,1、左下图是某街区的道路图,C点和D点正在修路不能通过,那么从A点到B点的最短路线有多少条?2、右上图是八间房子的示意图,相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处,如果只能从小号码房间走向大号码房间,那么共有多少种不同的走法?3、用数字0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的自然数? 解答:乘法原理例题讲解1乘法原理例题讲解2乘法原理例题讲解3在小于10000的自然数中,含有数字1的数有多少个?解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数,凡位数不到四位的自然数在前面补0使之成为四位数先求不含数字1的这样的四位数共有几个,即有0,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字所组成的四位数的个数由于每一位都可有9种写法,所以,根据乘法原理,由这九个数字组成的四位数个数为99996561,其中包括了一个0000,它不是自然数,所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560,于是,小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个1、如下图,A,B,C,D,E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色,共有多少种不同的染色方法?分析与解:将染色这一过程分为依次给A,B,C,D,E染色五步。先给A染色,因为有5种颜色,故有5种不同的染色方法;第2步给B染色,因不能与A同色,还剩下4种颜色可选择,故有4种不同的染色方法;第3步给C染色,因为不能与A,B同色,故有3种不同的染色方法;第4步给D染色,因为不能与A,C同色,故有3种不同的染色方法;第5步给E染色,由于不能与A,C,D同色,故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理,共有不同的染色方法54332360(种)。2、用五种颜色给右图的五个区域染色,每个区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?分析与解:本题与上一讲的例4表面上十分相似,但解法上却不相同。因为上一讲例4中,区域A与其它区域都相邻,所以区域A与其它区域的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻,如果从区域A开始讨论,那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。当区域A与区域E颜色相同时,A有5种颜色可选;B有4种颜色可选;C有3种颜色可选;D也有3种颜色可选。根据乘法原理,此时不同的染色方法有5433180(种)。当区域A与区域E颜色不同时,A有5种颜色可选;E有4种颜色可选;B有3种颜色可选;C有2种颜色可选;D有2种颜色可选。根据乘法原理,此时不同的染色方法有54322240(种)。再根据加法原理,不同的染色方法共有180240=420(种)。3.如图,把A、B、C、D、E这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?EDCBA按A,B,C,D,E的顺序,分别有4,3,2,2,2种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有43222=96(种).4、用1,2,3,4这四种数码组成五位数,数字可以重复,至少有连续三位是1的五位数有多少个?分析与解:将至少有连续三位数是1的五位数分成三类:连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。连续五位是1,只有11111一种;中任一个,所以有336(种);34433333(种)。由加法原理,这样的五位数共有163340(种)。在此题中,我们先将这种五位数分为三类,以后在某些类中又分了若干种情况,其中使用的都是加法原理。5、有10块糖,每天至少吃一块,吃完为止。问:共有多少种不同的吃法?分析与解:将10块糖排成一排,糖与糖之间共有9个空。从头开始,如果相邻两块糖是分在两天吃的,那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃:第一天吃2块,第二天吃3块,第三天吃1块,第四天吃2块,第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能,根据乘法原理,不同的加线方法共有29512(种)。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法,所以不同的吃法共有512种。5、变速自行车主动车轴上有48、36、24三种齿数的轮子,后轴飞轮有36、16、12、24四种齿数的轮子,变速车共有多少种不同的速变?解:34=12(种)答:变速车共有12种不同的速变。
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