第一章 实数集与函数1 实数.教学目的与要求1理解实数的概念,掌握实数的表示方法2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. .教学重点与难点重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.难点: 实数的定义及其应用.讲授内容 一 实数及其性质实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成有理数的表示:有理数可用分数形式(为整数，0)表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示.无理数:无限十进不循环小数则称为无理数有理数和无理数统称为实数 有限小数(包括整数)也表示为无限小数规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=.时，其中0i=1,2,n, 为非负整数，记x=.1)*.999 9 而当x=a为正整数时，则记x=(1)999 9，例如2001记为2000 999 9；对于负有限小数(包括负整数)y，则先将y表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如8记为7999 9；又规定数0表示为0000 0于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法现定义两个实数的大小关系 定义1 给定两个非负实数 x= . y=其中为非负整数，(k=1，2，)为整数，09，09.若有0，1，2，则称x与y相等，记为x=y；若或存在非负整数L，使得 =(k=0，1，2，L)而，则称x大于y或y小于x，分别记为xy或yx对于负实数x，y，若按上述规定分别有与，则分别称x=y与xx)另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数定义2 : =.为非负实数称有理.为实数x的n位不足近似，而有理数称为x的n位过剩近似，n=0,1,2, . 对于负实数,其n位不足近似与过剩近似分别规定为与. 注 不难看出，实数x的不足近似当n增大时不减，即有xxx，而过剩近似当n增大时不增，即有 命题 设x=.与y=.为两个实数，则xy的等价条件是：存在非负整数n，使得，其中表示的位不足近似，表示的位过剩近似 例1 设x、y为实数，xy.证明：存在有理数r满足.证 由于x,故存在非负整数n,使得，令r=则r为有理数,且有x即得 xry全体实数构成的集合记为R,即 R= 实数的主要性质： 1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数 2实数集是有序的，即任意两实数、必须满足下述三个关系之一：. 3实数的大小关系具有传递性，即若，c，则有c 4实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何、R，若0，则存在正整数，使得 5实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数 6如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系因此在以后的叙述中，常把“实数”与“数轴上的点”看作具有相同的含义 例2 设、R证明：若对任何正数有令，则为正数且，但这与假设相矛盾从而必有 二 绝对值与不等式实数a的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是点到原点的距离 实数的绝对值有如下一些性质： 1 0；当且仅当=0时有=0 2 3；4对于任何、R有如下的三角形不等式：. 下面只证明性质4，其余性质由学生自行证明 由性质2有 两式相加后得到 根据性质3，上式等价于 将(1)式换成，(1)式右边不变，即得，这就证明了性质4不等式的右半部分又由 从而得 将(2)式中换成，即得证. 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用. 课外作业:P3、4、5、6、7、8、9.