高三年级摸底调研测试数 学 数学 必做题部分注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：样本数据的方差，其中.一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上1若集合，则 .2若复数满足，其中是虚数单位，则 .I1S1While S24II1SSIEnd WhilePrint I 第5题图3某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是 4已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，125，若 其平均成绩是124，则这组数据的方差是 .5如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 6已知点在圆上运动，则到直线 的距离的最小值为 .7. 过点与函数（是自然对数的底数）图象相切的直线方程是 .8连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则B1A1CBAC1第9题图出现向上的点数和大于9的概率是 .9如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长若侧面水平放置时，液面恰好过的中点当底面水平放置时，液面高度为 10已知，若，则的值为 .11若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列；类比上述性质，若数列是等差数列，则当_ _时，数列也是等差数列.12已知双曲线，分别是双曲线虚轴的上、下端点,分别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为 .13设等差数列的前项和为，若，则的取值范围是 .14.已知函数，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知分别是的三个内角的对边，若向量，且.(1)求角的大小；(2)求函数的值域.BACDA1B1C1第16题图16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，,为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面.17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大?（利润=累计收入+销售收入-总支出）18.（本小题满分16分）已知椭圆：的离心率，一条准线方程为.(1)求椭圆的方程；(2)设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且.当直线的倾斜角为时，求的面积；是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项和为，且，.(1) 证明数列是等比数列，并写出通项公式；(2) 若对恒成立，求的最小值；（3）若成等差数列，求正整数的值.20.（本小题满分16分）已知函数，.(1)求的最大值；(2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程恰有一解，其中是自然对数的底数，求实数的值.数学 附加题部分注意事项：本试卷共2页，均为非选择题（第21题第23题）本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将答题卡交回作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效C21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(第21A题图)BA选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）D如图，已知，是圆的两条弦，且是线段的 A垂直平分线，若，求线段的长度B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M 的一个特征值是3，求直线在M作用下的新直线方程C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于的不等式的解集为，求正实数的取值范围【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分10分)APCB第22题图DMO如图，在正四棱锥中，已知，点为中点，求直线 与平面所成角的正弦值 23 (本小题满分10分)某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字19的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖记X表示一次摇奖获得的购物券金额(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；(2)求X的概率分布列和数学期望(2) 因为 12分BACDA1B1C1G而，所以函数的值域为14分16（1）因为在直三棱柱中，所以平面,因为平面，所以，又，,所以平面,因为，所以 4分又因为，所以是正方形，所以，又，所以平面， 8分(2)在正方形中，设，则为中点,为的中点，结,在中， 12分因为平面，平面，所以平面， 14分17（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，则，18（1）因为，2分解得，所以椭圆方程为 4分（2）由，解得 ，6分由 得 ， 8分所以，所以10分假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则因为，故，当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：，19（1）因为，其中是数列的前项和，是数列的前项和，且，当时，由，解得，2分当时，由，解得； 4分由，知，两式相减得，即，5分亦即，从而，再次相减得，又，所以所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 7分其通项公式为 8分（2）由（1）可得，10分20（1）因为，所以，2分由，且，得，由，且，4分所以函数的单调增区间是，单调减区间是，所以当时，取得最大值；6分（2）因为对一切恒成立，即对一切恒成立，亦即对一切恒成立，8分设，因为，故在上递减，在上递增， ，所以 10分（3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解，由（1）知，在时，12分B（选修42：矩阵与变换）因为矩阵M 的一个特征值是3，设，则，解得，所以，5分设直线上任一点在M作用下对应点为，则有，整理得，即，代人，整理得,故所求直线方程为：10分C（选修4-4：坐标系与参数方程）由消去，得， 曲线是以为圆心，半径等于1的圆 5分所以在极坐标系下，曲线是以为圆心，半径等于1的圆所以曲线的极坐标方程是 10分D（选修45：不等式选讲）因为 5分故原不等式解集为R等价于 所以又因为，所以,所以正实数的取值范围为 10分23（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况