成都理工大学复变函数模拟考试试题（一）附参考答案大题一二三四总分得分一 填空题(每题4分，共5题20分)1 ，则 i 。2 三角形三个顶点复数为，则重心处的复数是。3 函数的奇点是 全体复数（任意复数） 。4 = -e 。5 |z|=1，化简= 0 。二 计算题(每题6分，共4题24分)6 求Ln(1+) 的全体值。解：原式=3分=3分7 求的全体值。解：原式=3分=3分8 计算。 解：原式= 3分= 3分9 计算， C：的正向。解： 原式=，C内只包围奇点a, 3分= =3分三 解答题(每题6分，共4题24分)10 u(x,y)=，求函数v(x,y)，使u(x,y)+iv(x,y)是解析函数。解：由C-R方程，3分由，得由， ）=0，所以）=C。3分11 求级数的收敛域。解： ，半径R=.3分圆心为。收敛域 3分12 求映射 在z=i处的伸缩率和转动角。解：, 3分 。 伸缩率为2，转动角。3分13 在映射w=(1+i) 下，z平面上的图形 |z-i|1被映射成w平面上的什么图形。解：共轭表示以实轴为对称轴上下翻，映射为|z+i|13分，乘以(1+i)表示旋转，再以原点为基准向外膨胀为倍的圆。圆心是，膨胀到1-i。半径从1膨胀到。最后图形是|w- (1-i)| 。3分四 计算题(每题8分，共4题32分)14 计算，L是连接(0,0)与(，0)的曲线，(0,0)为起点。解：原式=定义2分=展开2分=代路径2分=分部积分2分15 把函数在区域 1|z|2 展开成洛朗级数。解：原式=拆项2分其中2分2分2分16 判断函数的所有有限奇点与无穷远奇点的类型，并计算每个奇点的留数。解：有限奇点有z=0, z=2, 分别是一级极点。2分因为，所以z=是可去奇点。2分两个有限奇点的留数2分留数定理2：2分17 求将下半平面 Im(z)0 映射成单位圆 |w-i|2的分式线性映射。解：下半平面取任一复数。映射到0， 映射到。， 2分当z=1,|w|=1,所以|k|=1.下半平面映射到单位圆内，2分扩大为半径为2的圆内2分往上平移至圆心为i.+i2分1