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2019人教版精品教学资料高中选修数学31.2复数的几何意义预习课本P104105,思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的,复数的模如何求出?(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何?复数的模是实数还是复数? 1复平面2复数的几何意义(1)复数zabi(a,bR) 复平面内的点Z(a,b)(2)复数zabi(a,bR) 平面向量.3复数的模(1)定义:向量OZ的模r叫做复数zabi(a,bR)的模(2)记法:复数zabi的模记为|z|或|abi|.(3)公式:|z|abi|r(r0,rR)点睛实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z00i0,表示的是实数1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()答案:(1)(2)(3)2已知复数zi,复平面内对应点Z的坐标为()A(0,1)B(1,0)C(0,0)D(1,1)答案:A3向量a(1,2)所对应的复数是()Az12i Bz12iCz12i Dz2i答案:B4已知复数z的实部为1,虚部为2,则|z|_.答案:复数与点的对应关系典例求实数a分别取何值时,复数z(a22a15)i(aR)对应的点Z满足下列条件:(1)在复平面的第二象限内(2)在复平面内的x轴上方解(1)点Z在复平面的第二象限内,则解得a3.(2)点Z在x轴上方,则即(a3)(a5)0,解得a5或a3.一题多变1变设问本例中题设条件不变,求复数z表示的点在x轴上时,实数a的值解:点Z在x轴上,所以a22a150且a30,所以a5.故a5时,点Z在x轴上2变设问本例中条件不变,如果点Z在直线xy70上,求实数a的值解:因为点Z在直线xy70上,所以a22a1570,即a32a215a300,所以(a2)(a215)0,故a2或a.所以a2或a时,点Z在直线xy70上利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数zabi(a,bR)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解 复数的模典例(1)若复数z对应的点在直线y2x上,且|z|,则复数z()A12iB12iC12i D12i或12i(2)设复数z1a2i,z22i,且|z1|z2|,则实数a的取值范围是()A(,1)(1,) B(1,1)C(1,) D(0,)解析(1)依题意可设复数za2ai(aR),由|z|得 ,解得a1,故z12i或z12i.(2)因为|z1| ,|z2|,所以,即a245,所以a21,即1a1.答案(1)D(2)B复数模的计算(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解 活学活用1如果复数z1ai满足条件|z|2,那么实数a的取值范围是()A(2,2) B(2,2)C(1,1) D(,)解析:选D因为|z|2,所以2,则1a24,a23,解得a.2求复数z168i与z2i的模,并比较它们的模的大小解:z168i,z2i,|z1|10,|z2| .10,|z1|z2|.复数与复平面内向量的关系典例向量对应的复数是54i,向量对应的复数是54i,则+对应的复数是()A108i B108iC0 D108i解析因为向量对应的复数是54i,向量对应的复数是54i,所以(5, 4), (5, 4),所以(5,4)(5,4)(0,0),所以+对应的复数是0.答案C(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变(2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离,类比向量的模,可以进一步引申|zz1|表示点Z到点Z1之间的距离如|zi|1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1. 活学活用在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模z11i;z2i;z32;z422i.解:在复平面内分别画出点Z1(1,1),Z2,Z3(2,0),Z4(2,2),则向量,, ,分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示各复数的模分别为:|z1|;|z2| 1;|z3|2;|z4|2.层级一学业水平达标1与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2,它们对应的复数分别是()Ae1对应实数1,e2对应虚数iBe1对应虚数i,e2对应虚数iCe1对应实数1,e2对应虚数iDe1对应实数1或1,e2对应虚数i或i解析:选Ae1(1,0),e2(0,1)2当m1时,复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析:选Dm1,3m20,m10,点(3m2,m1)在第四象限3已知0a2,复数zai(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A(1,) B(1,)C(1,3) D(1,5)解析:选B|z|,0a2,1a215,|z|(1,) 5复数z1cos isin (2)的模为()A2cos B2cosC2sin D2sin解析:选B|z|2|cos|.2,cos0,于是|z|2cos.6复数35i,1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为_解析:由点(3,5),(1,1),(2,a)共线可知a5.答案:57过原点和i对应点的直线的倾斜角是_解析:i在复平面上的对应点是(,1),tan (0),.答案:9设z为纯虚数,且|z1|1i|,求复数z.解:z为纯虚数,设zai(aR且a0),又|1i|,由|z1|1i|,得 ,解得a1,zi.10已知复数zm(m1)(m22m3)i(mR)(1)若z是实数,求m的值;(2)若z是纯虚数,求m的值;(3)若在复平面内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围解:(1)z为实数,m22m30,解得m3或m1.(2)z为纯虚数,解得m0.(3)z所对应的点在第四象限,解得3m0.故m的取值范围为(3,0)层级二应试能力达标1已知复数z12ai(aR)对应的点在直线x3y40上,则复数z2a2i对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析:选B复数z12ai对应的点为(2,a),它在直线x3y40上,故23a40,解得a2,于是复数z222i,它对应点的点在第二象限,故选B.2复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上,则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0解析:选Dz在复平面内对应的点在虚轴上,a22a0,解得a2或a0.3若x,yR,i为虚数单位,且xy(xy)i3i,则复数xyi在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析:选Axy(xy)i3i,解得复数12i所对应的点在第一象限4在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|2,|z2|,则z2()A45i B54iC34i D54i或i解析:选D设z2xyi(x,yR),由条件得,或故选D.5若复数z(m29)(m22m3)i是纯虚数,其中mR,则|z|_.解析:由条件知m3,z12i,|z|12.答案:126已知复数zx2yi的模是2,则点(x,y)的轨迹方程是_解析:由模的计算公式得 2,(x2)2y28.答案:(x2)2y287已知复数z0abi(a,bR),z(a3)(b2)i,若|z0|2,求复数z对应点的轨迹解:设zxyi(x,yR),则复数z的对应点为P(x,y),由题意知z0abi,|z0|2,a2b24.将代入得(x3)2(y2)24.点P的轨迹是以(3,2)为圆心,2为半径的圆8已知复数z1i,z2i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小;(2)设zC,满足条件|z2|z|z1|的点Z的轨迹是什么图形?解:(1)|z1| 2,|z2| 1,|z1|z2|.(2)由|z2|z|z1|及(1)知1|z|2.因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离,所以|z|1表示|z|1所表示的圆外部所有点组成的集合,|z|2表示|z|2所表示的圆内部所有点组成的集合,故符合题设条件点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所示
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