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课时跟踪检测(二十三) 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角层级一学业水平达标1已知向量a(0,2),b(1,),则向量a在b方向上的投影为()A.B3C D3解析:选D向量a在b方向上的投影为3.选D.2设xR,向量a(x,1),b(1,2),且ab,则|ab|()A. B.C2 D10解析:选B由ab得ab0,x11(2)0,即x2,ab(3,1),|ab|.3已知向量a(2,1),b(1,k),a(2ab)0,则k()A12 B6C6 D12解析:选D2ab(4,2)(1,k)(5,2k),由a(2ab)0,得(2,1)(5,2k)0,102k0,解得k12.4a,b为平面向量,已知a(4,3),2ab(3,18),则a,b夹角的余弦值等于()A. BC. D解析:选C设b(x,y),则2ab(8x,6y)(3,18),所以解得故b(5,12),所以cosa,b.5已知A(2,1),B(6,3),C(0,5),则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析:选A由题设知(8,4),(2,4),(6,8),28(4)40,即.BAC90,故ABC是直角三角形6设向量a(1,2m),b(m1,1),c(2,m)若(ac)b,则|a|_.解析:ac(3,3m),由(ac)b,可得(ac)b0,即3(m1)3m0,解得m,则a(1,1),故|a|.答案:7已知向量a(1,),2ab(1,),a与2ab的夹角为,则_.解析:a(1,),2ab(1,),|a|2,|2ab|2,a(2ab)2,cos ,.答案:8已知向量a(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab,则向量b的坐标为_解析:设b(x,y)(y0),则依题意有解得故b.答案:9已知平面向量a(1,x),b(2x3,x),xR.(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|ab|.解:(1)若ab,则ab(1,x)(2x3,x)1(2x3)x(x)0,即x22x30,解得x1或x3.(2)若ab,则1(x)x(2x3)0,即x(2x4)0,解得x0或x2.当x0时,a(1,0),b(3,0),ab(2,0),|ab|2.当x2时,a(1,2),b(1,2),ab(2,4),|ab|2.综上,|ab|2或2.10在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(2,3),C(2,1)(1)求及|;(2)设实数t满足(t),求t的值解:(1)(3,1),(1,5),31(1)(5)2.(2,6),|2.(2)t(32t,1t),(2,1),且(t),(t)0,(32t)2(1t)(1)0,t1.层级二应试能力达标1设向量a(1,0),b,则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直 Dab解析:选C由题意知|a|1,|b|,ab10,(ab)bab|b|20,故ab与b垂直2已知向量(2,2),(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是()A(3,0) B(2,0)C(3,0) D(4,0)解析:选C设P(x,0),则(x2,2),(x4,1),(x2)(x4)2x26x10(x3)21,故当x3时,最小,此时点P的坐标为(3,0)3若a(x,2),b(3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是()A. B.C. D.解析:选Cx应满足(x,2)(3,5)0且a,b不共线,解得x,且x,x.4已知(3,1),(0,5),且, (O为坐标原点),则点C的坐标是()A. B.C. D.解析:选B设C(x,y),则(x,y)又(3,1),(x3,y1),5(x3)0(y1)0,x3.(0,5),(x,y5),(3,4),3x4(y5)0,y,C点的坐标是.5平面向量a(1,2),b(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m_.解析:因为向量a(1,2),b(4,2),所以cmab(m4,2m2),所以acm42(2m2)5m8,bc4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以,即,所以,解得m2.答案:26已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_解析: 以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),设E(1,a)(0a1)所以(1,a)(1,0)1,(1,a)(0,1)a1,故的最大值为1.答案:117已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2)(1)若|c|2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|,且a2b与2ab垂直,求a与b的夹角.解:(1)设c(x,y),|c|2,2,x2y220.由ca和|c|2,可得解得或故c(2,4)或c(2,4)(2)(a2b)(2ab),(a2b)(2ab)0,即2a23ab2b20,253ab20,整理得ab,cos 1.又0,.8已知(4,0),(2,2),(1) (2)(1)求及在上的投影;(2)证明A,B,C三点共线,且当时,求的值;(3)求|的最小值解:(1)8,设与的夹角为,则cos ,在上的投影为|cos 42.(2)(2,2),(1)(1)(1),所以A,B,C三点共线当时,11,所以2.(3)|2(1)22(1)2162161616212,当时,|取到最小值,为2.1
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