目录I考查目标2II考试形式和试卷结构2III考查内容2IV.题型示例及参考答案4全国硕士研究生入学统一考试高等代数考试大纲I 考查目标要求考生 比 较 系 统 地 理解 高 等 代 数 的基本概念和基本理论，掌握高 等 代 数的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。三、试卷内容与题型结构计算题（ 30% ） 、证明题（70% ）III 考查内容一、多项式1. 熟练掌握多项式因式分解理论及整除理论。2. 掌握多项式、不可约多项式、最大公因式、重因式的概念；掌握整除、互素、不可约等概 念的联系与区别。3. 掌握带余除法、辗转相除法、艾森斯坦因（ Eisenstein ）判别法。4. 会求两个多项式的最大公因式，会求有理系数多项式的有理根，会判别两个多项式互素。二、行列式1. 熟练掌握行列式的性质及行列式的计算。2. 掌握 n 阶行列式的定义。3. 掌握克拉默（ Cramer ）法则。三、线性方程组1. 熟练掌握向量线性相关性的概念、性质、判别法，会求向量组的秩及最大线性无关组。2. 掌握基础解系的概念及计算，熟练掌握线性方程组的解的判别定理 ，以及齐次和非齐 次线性方程组的求解。3. 熟练掌握矩阵的秩的概念及计算。四、矩阵1. 熟练掌握矩阵、可逆矩阵、初等矩阵的概念与性质。2. 理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算及思想方法。3. 熟练掌握矩阵的加法、减法、乘法，数乘、转置等运算。4. 熟练掌握可逆矩阵的判别方法及逆矩阵的计算。5. 能熟练使用矩阵的初等变换方法。五、二次型1. 掌握二次型的标准形、实二次型的规范形的概念。2. 熟练掌握正定二次型的概念、性质、判别方法。3. 掌握化二次型为标准形的思想方法。4. 理解合同矩阵的概念及背景。六、线性空间1. 掌握线性空间、子空间的概念及判定方法。2. 掌握基与维数的概念、性质及求法，能熟练运用维数公式、基变换公式，会求过渡矩阵。3. 掌握子空间的交与和的概念、性质及求法。4. 熟练掌握子空间的直和的概念、性质。5. 理解线性空间的同构及判定方法。七、线性变换1 .掌握相似矩阵的概念、背景、性质及判定方法。2 . 熟练掌握特征值和特征向量的概念、性质及求法。3 . 熟练掌握线性变换的矩阵可对角化的条件及方法。4 .掌握不变子空间的概念及判定方法。5 .掌握线性变换的概念、性质、运算及判定方法。6 .掌握Hamilton-Caylay 定理及其应用。7 .掌握线性变换的值域与核的概念、性质及求法。8 .会求线性变换的矩阵、最小多项式。八、九-矩阵1 .会求矩阵的Jordan标准型。2 .掌握矩阵的行列式因子、初等因子、不变因子的概念及求法。九、欧几里得空间1 .掌握欧几里得空间、标准正交基与正交矩阵、对称变换与实对称矩阵、度量矩阵的概念与性质。2 .熟练掌握实对称矩阵正交对角化方法.3 .掌握正交矩阵判别方法。4 .会求欧几里得空间的标准正交基IV.题型示例及参考答案033一（20分）设 A =186214-10求：1 ） A的不变因子、行列式因子、初等因子；2） A白肉Jordan标准形.ax1 x2 x3 = 4（20分）设线性方程组|123x1 bx2 x3 = 3x1 2bx2 x3 = 4试讨论：当a,b分别取什么值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解?正交变换、正交补、并在有无穷多解时求其一般解.（18分）设A是门黑门矩阵（口之2）, A是A的伴随矩阵.、r、 、一 ii、一/姓一 r*.*试证明：当 R（A）=n 时，R（A ） =n ；而当 R（A） Wn 1 时，R（A）=0或 1.（20分）设u102110m是n维欧氏空间V中的一组向量,（二 1,二1）（二1,二2）HI （：1”m）其中（oti,c（ j）为内积.III HI HI似2,口1） （口2,也）（32,Um）m ,-1,- 1)(、工m,、 2) HI(、，m,、 m)证明：C（1,0（2,|H,am 线性无关 U |A#0.（20分）设A =A12THA22 |对称矩阵，且A11 #0.。1*证明：存在B =工O其中*表示一个阶数与A22相同的矩阵.（20分）设/A是线性空间V上的一个线性变换，若/A可逆，且九是/A的一个特征值,1 口 -1 则一是/A的特征值.(18 分)设 S(A) =BW Pn冲AB =0,A Pn n 证明：S（A）是Pn珀的一个子空间;(2)若 R(A) = r ,问 dim S(A) =?（14分）设仃，T是复数域C上的n维线性空间V的两个非零线性变换.qcrj 7炉=(仃芋 1)。巴5 B) =(5 B)。，且 dimIm( 6 B) =1.试证：仃与工有公共非平凡不变子空间参考答案100.解：欠EA的标准形为0102100，“九+1)2不变因子 1,1,九(九+1 )行列式因子1,1,九(九十1j2初等因子 九，(九十1 )000、A 的Jordan标准形0一10 一. *中至少有一个n-1阶子式不为零。,R(A ) 1.I - I-*又 A =0, AA=A E = 0 得 R(A) + R(A ) n*.R(A ) =、；.=0=/ A=1 九1=1是/ A的特征值。 九七.解：1) ；0WS(A) 二 S(A)#6 且 S(A)u pnxn-B, C S(A) AB=0,AC=0.A(B C) =AB AC =0A(k -) =kAB =0S(A)是pnm的子空间。、一一x2， 一一一2)设, %， %上是A =0的一个基础解系，考虑下列nx n矩阵.,xn )Bi = ：1，0，,0, B2 =: 2，0，,0，Bn=二 n-0,.,0 ,8.3=(0,%,0,.,0 ) B2g)=(0,%=,0,0 卜,Bng)=(0，,0$ 一)则 ABi =0(i=1,2,n(n-r).显然B1, B2,., Bn(n_r)线性无关，即为 S(A)的一组基dimS(A)=n(n-r).八.证：dim Im : -1. dimV =n 1.令%,a2，an为 V的一组基则n个向量(5 bM，.,(5 ect )o(n中必有一个非零向量。不妨设(5 -TCT P1 W 0,则上述这n个向量中其余n-1个均可由(5 -TCT yx1线性表示，即：(570)011=(6-70)0(1i=2, ,n.(670X510(1)=0i=2, ,n设 V = L = 2 -卜2: 1,.J n -kn：1易证 M = Ker ： - ： ； 0同时，由题设 CT(5 -TCT 户(5 7仃户，“6 ECT)=(5 -TCT 户易知V1是线性变换 仃与七的非平凡不变子空间。