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洪翔中学反比例函数的图像与性质专题 宋文文 知识点:(一)反比例函数的概念: 知识要点:1、一般地,形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。注意:(1)常数 k 称为比例系数,k 0、x0、y0; (2)判断一个函数是否是反比例函数,关键是看两个变量的乘积是否是一个常数.(3)解析式有三种常见的表达形式:(A)y = (k 0) , (B)xy = k(k 0) (C)y=kx-1(k0)2、反比例函数的图像图像的画法:描点法 列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数) 描点(有小到大的顺序) 连线(从左到右光滑的曲线)3、求函数解析式的方法:(1)待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出); (2)根据实际意义列函数解析式4、“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。5、反比例函数(k0)中的比例系数k的几何意义。如图:反比例函数 中比例系数k的绝对值的几何意义:如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴,y轴的垂线,M、N分别为垂足,则若已知矩形的面积k的绝对值时,应当依据双曲线的位置确定k值的符号。(二)反比例函数的图象和性质:反比例函数(k0)形状双曲线图像性质1、x的取值范围是x0,y的取值范围是y02、增减性:当k0时,双曲线的两支分别位于一、三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小;3、变化趋势:双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交1、x的取值范围是x0,y的取值范围是y02、增减性:当k0时,双曲线的两支分别位于二、四限,在每个象限内y值随x值的增大而增大3、变化趋势:双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交对称性反比例函数既是中心对称图形(对称中心为坐标原点),又是轴对称图形。当k0时,对称轴是直线y=x当k0时,对称轴是直线y=-x一选择题yxOyxOyxOyxO第2题图1、矩形面积为4,它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为( )A B C D2.关于反比例函数的图像,下列说法正确的是 ( )A.必经过(1,1) B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称 D.两个分支关于原点成中心对称3.在反比例函数的图象的每一条曲线上,的增大而增大,则的值可以是 ( )AB0C1D2第5题图4.在同一平面直角坐标系中,函数与函数的图象可能是 ( )5、如图,在平面直角坐标系中,直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上则a的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题6过反比例函数 (k0)图象上一点A,分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为B,C,如果ABC的面积为3.则k的值为 _.7若反比例函数的图象位于一、三象限内,正比例函数过二、四象限,则k的整数值是_8如图,AOB和BCD都是等边三角形,点A、C在函数y(x0)的图象上,并且边OB、BD都在x轴正半轴上,若OA=4,则点C的横坐标为_ 第10题图第8题图 第6题图9.若点A(m,2)在反比例函数的图像上,则当函数值y2时,自变量x的取值范围是_.10.如图,双曲线经过四边形OABC的顶点A、C,ABC90,OC平分OA与轴正半轴的夹角,AB轴,将ABC沿AC翻折后得到ABC,B点落在OA上,则四边形OABC的面积是_。三.解答题11如图,已知反比例函数的图像与一次函数ykx4的图像相交于P、Q两点,并且P点的纵坐标是6(1)求这个一次函数的解析式;(2)求POQ的面积12.如图,直线y=k1x+b(k10)与双曲线y=(k20)相交于A(1,2)、B(m,1)两点(1)求直线和双曲线的解析式;(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x10x2x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式;(3)观察图象,请直接写出不等式k1x+b的解集A(3,4)B(4,3)C(3,4)D(4,3)4、正比例函数ykx和反比例函数(k是常数,且k0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是5、(2013沈阳)、在同一平面直角坐标系中,函数与函数的图象可能是( )6(3分)(2013内江)如图,反比例函数(x0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为()7、如图,在平面直角坐标系中,直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上则a的值是B 第7题图1、(2013桂林)函数的图象与函数的图象在第一象限内交于点B,点C是函数在第一象限图象上的一个动点,当OBC的面积为3时,点C的横坐标是 3如图,反比例函数的图象经过点P,则k= 2) 反比例函数的图象如图4所示,点M是该函数图象上一点,MNx轴,垂足为N.如果SMON=2,这个反比例函数的解析式为_4、(2013三明)如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(3,2),与反比例函数y=(x0)的图象交于点Q(m,n)当一次函数y的值随x值的增大而增大时,m的取值范围是5、(2013自贡)如图,在函数的图象上有点、,点的横坐标为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点、分别作x轴、y轴的垂线段,构成若干个矩形,如图所示,将图中阴影部分的面积从左至右依次记为、,则=_,=_(用含n的代数式表示)6、(2013武汉)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC2AB,A,B两点的坐标分别是(1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数的图象上,则的值等于 AxyOB(第7题图)第15题图OACB三、解答题1、(2013攀枝花)如图,直线y=k1x+b(k10)与双曲线y=(k20)相交于A(1,2)、B(m,1)两点(1)求直线和双曲线的解析式;(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x10x2x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式;(3)观察图象,请直接写出不等式k1x+b的解集2(10分)(2013巴中)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点,直线AB与x轴交于点C,点B的坐标为(6,n),线段OA=5,E为x轴正半轴上一点,且tanAOE=(1)求反比例函数的解析式;(2)求AOB的面积3、(2013大连)如图,在平面直角坐标系xoy中,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A(m,1)、B(-1,n),与x轴相交于点C(2,0),且 。(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)直接写出不等式的解集。4、(2013成都)(本小题满分10分)如图,一次函数的图像与反比例函数(为常数,且)的图像都经过点(1)求点的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图像直接比较:当时,和的大小.5、(10分)(2013雅安)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k0)的图象与反比例函数y=(m0)的图象交于A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(2,0),且tanACO=2(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)求点B的坐标;(3)在x轴上求点E,使ACE为直角三角形(直接写出点E的坐标)6、如图,函数与函数的图像相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D则四边形ACBD的面积为O(第6题)A、2 B、4 C、6D、8 7、(2013乐山)如图,已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上,第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上,且OAOB,cosA=,则k的值为()A3B6CD2 内 不 要 答 题8、(2013广安). 已知反比例函数和一次函数. (1) 若一次函数与反比例函数的图像交于点P(2,m),求m和k的值. (2) 当k满足什么条件时,两函数的图像没有交点?9、(6分)(2013郴州)已知:如图,一次函数的图象与y轴交于C(0,3),且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A,B两点,其中A(1,a),求这个一次函数的解析式第 4 页 共 4 页
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