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中考总复习专题5-三角形(全等三角形、等腰三角形及三角形的相关知识)一.填空题1.(2010丹东)已知ABC是边长为1的等腰直角三角形,以RtABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰RtACD,再以RtACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰RtADE,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是 2. (2010桂林)如图:已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=2; P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边AEP和等边PFB,连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是_33.(2010滨州)如图:等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点。若AE=2,EM+CM的最小值为_4.(2010绍兴)做如下操作:在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分BAC,交BC于点D.将ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像与ACD重合.对于下列结论:在同一个三角形中,等角对等边;在同一个三角形中,等边对等角;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合.由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上). 5(2010绥化)RtABC中,BAC90,ABAC2,以AC为一边,在ABC外部作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为_4或2或6.(2010包头)如图,已知与是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为10cm,较小锐角为30,将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状,使点在同一条直线上,且点与点重合,将图(1)中的绕点顺时针方向旋转到图(2)的位置,点在边上,交于点,则线段的长为 cm(保留根号)AEC(F)DB图(1)EAGBC(F)D图(2)二.解答题1.如图,在ABC和ADE中,点E在BC边上,BAC=DAE,B=D,AB=AD.(1)求证:ABCADE;(2)如果AEC=75,将ADE绕着点A旋转一个锐角后与ABC重合,求这个旋转角的大小.证明:(1)BAC=DAE,AB=AD,B=D,ABDADE. (2)ABCADE,AC与AE是一组对应边,CAE的旋转角,AE=AC,AEC=75,ACE=AEC=75, CAE=1807575=30.2.如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,AEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CF于点F (1)证明:BAE=FEC;(2)证明:AGEECF;(3)求AEF的面积(1)证明:AEF=90o, FEC+AEB=90o在RtABE中,AEB+BAE=90o,BAE=FEC;(2)证明:G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,AG=GB=BE=EC,且AGE=180o45o=135o又CF是DCH的平分线, ECF=90o+45o=135o在AGE和ECF中, AGEECF; (3)解:由AGEECF,得AE=EF又AEF=90o,AEF是等腰直角三角形由AB=a,BE=a,知AE=a,SAEF=a23.(2010盐城)如图1所示,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,DCB=75,以CD为一边的等边DCE的另一顶点E在腰AB上(1)求AED的度数;(2)求证:AB=BC;(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,FBC=30求 的值 解:(1)BCD=75,ADBC ADC=105 由等边DCE可知:CDE =60,故ADE =45由ABBC,ADBC可得:DAB=90 , AED=45 (2)方法一:由(1)知:AED=45,AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上由DCE是等边三角形得:CD=CE,故点C也在线段DE的垂直平分线上AC就是线段DE的垂直平分线,即ACDE连接AC,AED =45,BAC=45,又ABBC BA=BCDA方法二:过D点作DFBC,交BC于点 可证得:DFCCBE 则DF=BC)从而:AB=CB E(3)FBC=30,ABF=60连接AF,BF、AD的延长线相交于点G,图1FCBFBC=30,DCB=75,BFC=75,故BC=BFGDA由(2)知:BA=BC,故BA=BF,ABF=60,AB=BF=FA,又ADBC,ABBC,FAG=G=30FG =FA= FB FG=FBC=30,DFG=CFB,FB=FGEBCFGDF C图2BDF=CF,即点F是线段CD的中点=14.(2010台州)如图1,RtABCRtEDF,ACB=F=90,A=E=30EDF绕着边AB的中点D旋转, DE,DF分别交线段AC于点M,K(1)观察: 如图2、图3,当CDF=0 或60时,AM+CK_MK(填“”,“”或“”)(2)猜想:如图1,当0CDF60时,AM+CK_MK,证明你所得到的结论图1图2图3图4(3)如果,请直接写出CDF的度数和的值解:(1) = (2)证明:作点C关于FD的对称点G,连接GK,GM,GD,则CD=GD ,GK = CK,GDK=CDK,D是AB的中点,AD=CD=GD30,CDA=120,EDF=60,GDM+GDK=60,ADM+CDK =60ADM=GDM,DM=DM, ADMGDM,GM=AMGM+GKMK,AM+CKMK(3)CDF=15,5.(2010绍兴)(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90.第23题图1求证:BECF.(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90, EF4.求GH的长.第23题图2(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90,EF4. 直接写出下列两题的答案:如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长; 如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).第23题图4第23题图3(1) 证明:如图1, 四边形ABCD为正方形, AB=BC,ABC=BCD=90, EAB+AEB=90. EOB=AOF90, FBC+AEB=90, EAB=FBC, ABEBCF , BE=CF 第23题图2ONM(2) 解:如图2,过点A作AM/GH交BC于M,过点B作BN/EF交CD于N,AM与BN交于点O/,则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形, EF=BN,GH=AM, FOH90, AM/GH,EF/BN, NO/A=90,故由(1)得, ABMBCN, AM=BN, GH=EF=4 (3) 8 4n 图16.(2010无锡)(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是DCP的平分线上一点若AMN=90,求证:AM=MN下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明证明:在边AB上截取AE=MC,连ME正方形ABCD中,B=BCD=90,AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE(下面请你完成余下的证明过程)图2(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是ACP的平分线上一点,则当AMN=60时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ:623300747转载请注明!(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”,请你作出猜想:当AMN=时,结论AM=MN仍然成立(直接写出答案,不需要证明)解:(1)AE=MC,BE=BM, BEM=EMB=45, AEM=1355, CN平分DCP,PCN=45,AEM=MCN=135在AEM和MCN中:AEMMCN,AM=MN(2)仍然成立在边AB上截取AE=MC,连接MEABC是等边三角形,AB=BC,B=ACB=60,ACP=120AE=MC,BE=BMBEM=EMB=60AEM=120CN平分ACP,PCN=60,AEM=MCN=120CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAMAEMMCN,AM=MN(3)7.(2010沈阳)如图1,在ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧, BM直线a于点M,CN直线a于点N,连接PM、PN; (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证:BPMCPE;k 求证:PM = PN; (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其它条件不变。此时 PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由。aABCPMNABCMNaPABCPNMa圖1圖2圖3(1)证明: j 如图2,BM直线a于点M,CN直线a于点N,
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