3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点)自 主 预 习探 新 知1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxay bzc其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组x，y，z是否唯一？提示(1)不能因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面(2)唯一确定2空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)基础自测1思考辨析(1)若a，b，c为空间一个基底，且pxaybzc若p0，则xyz0.()(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面()(3)以原点O为起点的向量的坐标和点P的坐标相同()(4)若(2,3,0)，则点P在平面xOy内()答案(1)(2)(3)(4)2在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()A，B，C， D，C由题意知，不共面，可以作为空间向量的一个基底3设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_. 【导学号：46342147】a(4，8,3)b(2，3,7)由题意知a(4，8，3)，b(2，3,7)合 作 探 究攻 重 难基底的判断(1)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1个B2个C3个D4个(2)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解(1)如图所示，令a，b，c，则x，y，z，abcAC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，故选C答案C(2)设xy，则e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3此方程组无解即不存在实数x，y使得xy，所以，不共面所以，能作为空间的一个基底规律方法 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设ab c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底跟踪训练1若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为空间的一个基底解假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab(bc)(ca)，即abab()Ca，b，c是空间的一个基底，a，b，c不共面此方程组无解即不存在实数，使得ab(bc)(ca)，ab，bc，ca不共面故ab，bc，ca能作为空间的一个基底用基底表示向量如图3129，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，.图3129思路探究解连接BO，则()(cba)abC()abC()ac(cb)abCa.规律方法1.本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底a，b，c，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止2基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘跟踪训练2点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值分别为() 【导学号：46342148】A，B，C，D，D如图所示，取PC的中点E，连接NE，则()()，比较知x，y，z，故选D空间向量的坐标表示探究问题1在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示：分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示2若(a，b，c)，则的坐标是多少？提示：(a，b，c)如图3130，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，的坐标图3130思路探究以点C为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，分别用，表示出来，再写出它们的坐标解法一：由题意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，的坐标为(1，1,1)，而，的坐标为(1，1,2)又，的坐标为(1,1，2)法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，(1，1,1)，(1，1,2)，(1,1，2)规律方法 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图3131所示建立空间直角坐标系图3131(1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量，的坐标解(1)由图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)所以(2，1，1)，(2，1，2)，(0,2，1)当 堂 达 标固 双 基1O，A，B，C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A，共线B，共线C，共线DO，A，B，C四点共面D由题意知，向量，共面，从而O，A，B，C四点共面2在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A向量的坐标与点B的坐标相同B向量的坐标与点A的坐标相同C向量与向量的坐标相同D向量与向量的坐标相同D因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于，故D正确3设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为() 【导学号：46342149】ABC DA如图，由已知1()()()()，从而xyz.4三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，为基底，则的坐标为_()()，故.5如图3132所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：图3132(1)；(2).解如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连接AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。