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2014高中数学 2-3-2 平面与平面垂直的判定同步练习 新人教A版必修2一、选择题1正方体A1B1C1D1ABCD中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于()A. B. C. D.答案C解析设AC、BD交于O,连A1O,BDAC,BDAA1,BD平面AA1O,BDAO,A1OA为二面角的平面角tanA1OA,选C.2在二面角l中,A,AB平面于B,BC平面于C,若AB6,BC3,则二面角l的平面角的大小为()A30B60C30或150 D60或120答案D解析如图,AB,ABl,BC,BCl,l平面ABC,设平面ABClD,则ADB为二面角l的平面角或补角,AB6,BC3,BAC30,ADB60,二面角大小为60或120.3到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A只有1个 B恰有3个C恰有4个 D有无穷多个答案D解析过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45角直线上所有点到两条直线的距离都相等,故选D.4ABCD是正方形,以BD为棱把它折成直二面角ABDC,E为CD的中点,则AED的大小为()A45 B30 C60 D90答案D解析设BD中点为F,则AFBD,CFBDAFC90,AF面BCDE、F分别为CD、BD的中点,EFBC,BCCD,CDEF,又AFCD,CD平面AEF,CDAE.故选D.5已知l,m,有下列四个命题:lm; lm;lm; lm.其中正确的命题是()A与 B与C与 D答案D解析ml,正确否定A、B,正确否定C,故选D.6已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO底面ABC,ACr,则球的体积与三棱锥体积之比是()AB2C3D4答案D解析此三棱锥的高为球的半径,ABC所在大圆面积为r2,三棱锥的底面易知为等腰直角三角形腰长为r,所以三棱锥底面面积为()2r2,4,球体积与三棱锥体积之比为4,故选D.7在空间四边形ABCD中,ADBC,BDAD,且BCD是锐角三角形,那么必有()A平面ABD平面ADCB平面ABD平面ABCC平面ADC平面BCDD平面ABC平面BCD答案C8已知m、l是直线,、是平面,给出下列命题:若l垂直于内的两条相交直线,则l;若l平行于,则l平行于内的所有直线;若m,l,且lm,则;若l,且l,则;若m,l,且,则ml.其中正确命题的序号是()A BC D答案C解析由直线与平面垂直的判定定理知,正确;对于,若l,m,则l与m可能平行,也可能是异面直线,故不正确;对于,满足题设的平面、有可能平行或相交,也有可能垂直,故是错误的;由面面垂直的判定定理知,是正确的;对于,m与l可能平行,也可能是异面直线,故是错误的故正确的命题是、.二、填空题9已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为3,则球O的表面积等于_答案16解析设球的半径为R,截面圆的半径为r,则有解得R2,球O的表面积S4R216.10如图,ABCD是正方形,PA平面ABCD,且PAABa.(1)二面角APDC的度数为_;(2)二面角BPAD的度数为_;(3)二面角BPAC的度数为_;(4)二面角BPCD的度数为_答案90;90;45;120解析(1)PA平面ABCDPACD又ABCD为正方形,CDAD,CD平面PAD,又CD平面PCD,平面PAD平面PCD,二面角APDC为90.(2)PA平面ABCD,ABPA,ADPABAD为二面角BAPD的平面角又BAD90,二面角BAPD为90(3)PA平面ABCD,ABPA,ACPABAC为二面角BPAC的平面角又ABCD为正方形,BAC45即二面角BPAC为45(4)作BEPC于E,连DE则由PBCPDC知BPEDPE从而PBEPDEDEPBEP90,且BEDEBED为二面角BPCD的平面角PA平面ABCD,PABC,又ABBC,BC平面PAB,BCPB,BEa,BDa取BD中点O,则sinBEO,BEO60,BED120二面角BPCD的度数为120.11已知二面角AB为120,AC,BD,且ACAB,BDAB,ABACBDa,则(1)CD的长为_;(2)CD与AB所成的角为_答案(1)2a(2)60解析在平面内,作AD綊BD,连DD,则DD綊AB(1)ACAB,DAAB,DAC为二面角AB的平面角即DAC120ABACBDa,CDa又AB平面ACD,DDAB,DD平面ACDDDDC,又DDaCD2a(2)DDABDDC为异面直线CD与AB所成的角在RtDDC中,DDa,CD2aDDC60,即CD与AB所成的角为60.12已知边长为a的菱形ABCD中,ABC60,PC平面ABCD,E是PA的中点,则E到平面PBC的距离为_答案a解析如图,设AC交BD于O,连EO,E、O分别为PA、AC的中点,EOPC,又EO面PBC,PC面PBC,EO平面PBC,于是EO上任一点到平面PBC的距离都相等,则O点到平面PBC的距离即为所求在平面ABCD内过O作OGBC于G,PC平面ABCD,PCOG,OG平面PBC.ABCD是菱形,ABC60,OGsinOBCsin30a.即E到面PBC距离为a.三、解答题13已知PA圆O所在平面,AB是O直径,C是圆周上任一点,图中有几个直角三角形?证明你的结论;有几对平面互相垂直?证明你的结论解析图中有四个直角三角形PAO所在平面,PAACPAABPAC、PAB都为直角三角形AB为O直径,BCAC,又PABC,BC平面PAC,从而BCPCABC、PBC都为直角三角形图中有三对互相垂直的平面,PAO所在平面PA平面PAB,PA平面PAC平面PAB,平面PAC又BCAC,BCPC,BC平面PAC,又BC平面PBC,平面PBC平面PAC.14已知PA平面ABCD,ABCD为矩形,PAAD,M、N分别是AB、PC的中点,求证:MN平面PAD;平面PMC平面PDC.解析(1)取PD的中点Q,连结AQ、QNPNNC,QN綊DC四边形ABCD为矩形,QN綊AMMNAQ,又AQ平面PAD,MN平面PAD,MN平面PAD(2)PA平面ABCD,PAD90PAD为等腰直角三角形Q为PD中点,AQPDCDAD,CDPA,CD平面PAD,AQ平面PAD,CDAQ,AQ平面PDC由MNAQ,MN平面PDC,又MN平面PMC,平面PMC平面PDC.15如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB2EF2,EFAB,EFFB,BFC90,BFFC,H为BC的中点(1)求证:FH平面EDB;(2)求证:AC平面EDB(3)求四面体BDEF的体积解析(1)证明:设AC与BD交于点G,联结EG、GH.则G为AC中点,H是BC中点,GH綊AB又EF綊AB,四边形EFHG为平行四边形FHEG.又EG平面EDB,而FH平面EDB,FH平面EDB.(2)证明:EFAB,EFFB.ABFB.又四边形ABCD为正方形,ABBC,又FBBCB,AB平面BFC.FH平面BFC,ABFH.又FBFC,H是BC中点,FHBC.又ABBCB,FH平面ABCD,FHAC.又EGFH,EGAC,又ACBD,BDEGG,AC平面EDB.(3)解:EFBF,BFFC且EFFCF,BF平面CDEF,即BF平面DEF.BF为四面体BDEF的高又BCAB2,BFFC.四边形CDEF为直角梯形,且EF1,CD2.SDEF(12)2VBDEF.*16.如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA.(1)证明:平面PBE平面PAB;(2)求二面角ABEP的大小解析(1)如图所示,连结BD,由ABCD是菱形且BCD60知,BCD是等边三角形因为E是CD的中点,所以BECD,又ABCD,所以BEAB,又因为PA平面ABCD,BE平面ABCD,所以PABE.而PAABA,因此BE平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(2)由(1)知,BE平面PAB,PB平面PAB,所以PBBE.又ABBE,所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中,tanPBA,PBA60.故二面角ABEP的大小是60.1
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