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用几何画板动态展示圆滚动周数的问题【摘要】在数学中考题和教科书中我们常常会遇到与圆滚动周数有关的问题,由于滚动是一种复合运动,包括滚动圆本身的自转及其沿着另一个几何图形的平移或旋转,故此类问题灵活性强,易被表面现象所迷惑,解题时易出现错误几何画板是动态教学软件,它能动态展现几何图形各个元素的内在联系,特别是一些动态的生成过程(如轨迹问题)本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况,先给出了一个简洁明快的分析过程,再介绍利用几何画板动态展示圆滚动的周数的问题【关键词】几何画板;圆滚动的周数;外切;内切我们常常会遇到一类与圆的滚动有关的问题,由于此类问题灵活性较强,且易被表面现象所迷惑,解题时极易出现错误,有些同学感到难以理解,教师不知道如何解释。本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况,首先给出了一个简洁明快的分析过程,再介绍利用几何画板动态展示圆滚动的周数的问题。我们先引入概念:(1)动圆自转一周;(2)滚动。动圆自转一周,是指圆心移动的同时,圆的任一半径绕圆心旋转了,半径终止时的状态与起始时的状态成同向平行(从圆心出发指着同一方向)。滚动,是指一个物体(多为球形或圆柱形)在另一个物体上接触面不断改变的移动。滚动其实是一种复合运动,包括两种运动:一是滚动圆本身的自转;另外还有滚动圆沿着另一个几何图形的平移或旋转。由于在滚动过程中滚动圆除圆心外,其余各点相对于另一个几何图形的运动轨迹是变化的,很难把握其规律,而圆心相对于另一个几何图形的运动轨迹很容易确定,故解决圆的滚动问题,只要知道圆心轨迹的长度和滚圆的半径, 就可以按公式/求出滚圆自身滚动的圈数。1. 动圆与定圆外切的情况设半径为r的动圆D与半径为R的定圆A外切且作无滑动的滚动,当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,求动圆自转的周数。图1分析 如右图1:当动圆自转1周,动圆从初始位置点D滚动圆,半径PD旋到,且,记,显然= 由于+ ,得 + 即得= 这表明动圆自转1周时,它的圆心描出的弧长恰好是动圆的周长,由此推出动圆自转的周数。当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之和为半径的圆,其路程是,此时自转的周期。操作步骤(以定圆的半径R是动圆的半径 r的3倍为例)(1)新建画板,用【圆】工具在上绘制一个定圆A,作圆上一点C,依次选择点A、C,作射线AC,连接线段AC,并用【度量】|【长度】量出AC的长。(2)【数据】|【新建参数】设置参数,【数据】|【计算】出AC/t的值。(3)用【构造】|【以圆心和半径绘圆】作以点C为圆心、线段AC/t为半径的圆C,圆C与射线AC的外侧交点D;选中圆C,【显示】|【隐藏圆】将圆C隐藏,以同样的方法作以点D为圆心、线段AC/t为半径的动圆D。(4)在圆A上任取一点E,依次选择点A、E,作水平线上的射线AE,确定动圆D的初始位置;拖动点C时,将圆D标签改为圆D1;选中点D1及射线AE,【构造】|【平行线】,所得平行线与圆D1左交点为F,连接线段D1F。 (5)依次选择点C、E和定圆A,用【构造】|【圆上的弧】作圆弧CE,【度量】|【弧长】量出CE的弧长;用【数据】|【计算】计算(CE的弧长/(AC/t)的长)1弧度,并将计算结果标记角度;以点D1为中心,标记角度为旋转角,将点C旋转到点E1,作弧CE1。(6)选依次选择点F、 E1和圆D1,用【构造】|【圆上的弧】作圆弧FE1;选中点C、D,【构造】|【轨迹】得圆D的圆心轨迹。(7)选择点C,【编辑】|【操作类按钮】|【动画】制作出动圆D运动的按钮,点击此按钮就可以欣赏到动圆是如何旋转4圈的了。(8)度量弧CE、CF和DD1的弧长,并计算度量弧CE与弧CF之和,制成对应观察表;隐藏不需要的对象,美化界面如图2所示。图22.动圆与定圆内切的情况设半径为r的动圆与半径为R(Rr)的定圆内切且作无滑动的滚动,当动圆滚动了一周回到原处时,求动圆自转的周数。图3分析 如右图3:当动圆自转1周,动圆从初始位置点D滚动圆,半径DE旋到,且,记由- ,得即得= 这表明动圆自转1周时,它的圆心描出的弧长恰好是 动圆的周长,由此知动圆自转的周数。当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之差为半径的圆,其路程是,此时自转的周期。操作步骤(以定圆的半径R是动圆的半径 r的3倍为例)(1)新建画板,用【圆】工具在上绘制一个定圆A,作圆上一点C,依次选择点A、C,作射线AC,连接线段AC,并用【度量】|【长度】量出AC的长。(2)【数据】|【新建参数】设置参数,【数据】|【计算】出AC/t的值。(3)用【构造】|【以圆心和半径绘圆】作以点C为圆心、线段AC/t为半径的圆C,圆C与射线AC的内侧交点D;选中圆C,【显示】|【隐藏圆】将圆C隐藏,以同样的方法作以点D为圆心、线段AC/t为半径的动圆D。(4)在圆A上任取一点E,依次选择点A、E,作水平线上的射线AE,确定动圆D的初始位置;拖动点C时,将圆D标签改为圆D1;选中点D1及射线AE,【构造】|【平行线】,所得平行线与圆D1右交点为F,连接线段D1F。 (5)依次选择点C、E和定圆A,用【构造】|【圆上的弧】作圆弧CE,【度量】|【弧长】量出CE的弧长;用【数据】|【计算】计算(CE的弧长/(AC/t)的长)1弧度,并将计算结果标记角度;以点D1为中心,标记角度为旋转角,将点C旋转到点E1,作弧CE1。(6)选依次选择点F、 E1和圆D1,用【构造】|【圆上的弧】作圆弧FE1;选中点C、D,【构造】|【轨迹】得圆D的圆心轨迹。(7)选择点C,【编辑】|【操作类按钮】|【动画】制作出动圆D运动的按钮,点击此按钮就可以欣赏到动圆是如何旋转2圈的了。(8)度量弧CE、CF和DD1的弧长,并计算度量弧CE与弧CF之和,制成对应观察表;隐藏不需要的对象,美化界面如图4所示。图4结论综上所述可得结论,圆滚动时,圆心移动的路程恰好等于圆上某个确定的点绕圆心转过的弧长,因此动圆自转的周数。当动圆与定圆外切时,动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之和为半径的圆,其路程是,此时自转的周期。当动圆与定圆内切时,动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之差为半径的圆,其路程是,此时自转的周期。说明 (1)解决圆的滚动问题关键之处是,知道圆心轨迹的长度S和滚圆的半径R, 就能按公式求出圆滚动的圈数。(2)圆的滚动问题还可以继续延伸,比如圆沿多边形四周滚动、多边形在直线上滚动等等,这些都可以借助几何画板来解决。【参考文献】1 胡卫华.基于的数学探究式教学模式的实证研究D. 广西师范大学2 赵浩良, 赵小云.滚动时它转了几圈?J. 中学数学, 20114 余炯沛.怎样计算动圆自转的周数J. 中学生数学, 2009 5 武众军.一类滚圆问题的解法J. 初中数学教与学, 20096 陈尔昌, 张汝才.滚动的圆自身旋转的规律J. 教学月刊, 2006
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