数列知识点及常用结论-、等差数列(1) 等差数列的基本公式 通项公式：a. = q (n - 1)d(从第1项印开始为等差)an = am (n- m)d(从第m项am开始为等差)a-am= ndan=am+( n-m)d 二仁 anamd =l. n m 前n项和公式：sn二“佝*)二n 吃2 2(2) 证明等差数列的法方 定义法：对任意的n，都有an1 -an =d ( d为常数)二an为等差数列 等差中项法：2an an - an .2 (n，N*) = a.为等差数列 通项公式法：an =pn+q (p , q为常数且pz 0)= a*为等差数列即:通项公式位n的一次函数，公差 d二p，首项a p q 前n项和公式法：Sn = pn2 qn (p , q为常数)二an为等差数列即:关于n的不含常数项的二次函数(3) 常用结论 若数列an, bn为等差数列，则数列an k , kLan , an - bn, kan - b(k , b为非零常数)均为等差数列. 若 m+n=p+q (m, n, p, q N*)，贝U a. am=ap aq.特别的，当n+m=2k时，得an am = 2ak 在等差数列an中，每隔k(k N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：a1， a4， a7， a10 仍为公差为3d的等差数列) 若数列a*为等差数列，则记2 =6 a?从心比,S2k -Sk = ak i ak 2宀宀a2k,2 S3k-S2k=a2ki角2心込，则Sk, S2k-S, Sk -Sk仍成等差数列，且公差为k d 若Sn为等差数列an的前n项和，则数列鱼也为等差数列.nf S|,（n = 1） an二此性质对任何一种数列都适用I Sn _ Sn j,（n 丄 2） 求Sn最值的方法：a zoI：若ai0,公差d0,则当时，则Sn有最大值，且Sk最大；ak0卄ak兰0若ai0,则当 k 时，则Sn有最小值，且Sk最小；ak 1 02II :求前n项和Sn = pn qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k，当n二k时，Sk为最值，是最大或最小，通过Sn的开口来判断。二、等比数列（1）等比数列的基本公式通项公式：a - aiq（从第1项ai开始为等比）an =amqnjm（从第m项am开始为等差）前n项和公式：Sn =ai(i q),(q=i)，Sn 二 n ai,(q=i) i -q（2）证明等比数列的法方定义法：对任意的n,都有an彳=qan(an = 0)= q (q = 0) = an为等比数列an2等比中项法：an二an（a“ i a“异=0） := a“为等比数列通项公式法：an =aq （a,q是不为0的常数）=a“为等比数列（3）常用结论 若数列a* , bn为等比数列，则数列 , kLa* , an , a2n j , anbn anbn（k为非零常数）均为等比数列. 若 m+n=p+q （m, n， p， q N*），则 aam = aaq.特别的，当n+m=2k时，得anLam = ak2 在等比数列an中，每隔k（k N*）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为 qk1 （例如：印，a4， a7，a 仍为公比q3的等比数列） 若数列an为等差数列，则记2 =冃 *a2比，Ek 2 =兔十+比也*+ a2k， Ek =a2k+a2kd2 +*a3k，则Sk，S2k -Sk，S3k -S2k仍成等比数列，且公差为qk三、求任意数列通项公式an的方法(1)累加法：若an满足an+i=an+f(n)利用累加法求：an - ai (a2 - aj (a3 - a2) (a4 - a3) (an -an)例题：若 ai =1，且 an d = an 2n，求：an练习题：若数列an满足ani-an-2ni=0，且a/O（2）累乘法：右an满足an的=f （n） an利用累乘法求：anan 丄（並）竺）竺）_一（电）ai a2 a3an J例题：在数列an中，a- ,an d = n an，求：an.2n练习题：在数列an中，a1 = 1且an = nan d，求：an（提示：1 2 3 n = n!）(3) 递推公式中既有Sn，又有an，用逐差法n=1an :c 特别注意：该公式对一切数列都成立。Sn - Snn 3 2(4) 若an满足an d - pan q,( p q),则两边加：x = ，在提公因式P,构 P1造出一个等比数列，再出求：an例题：已知数列an，满足：an 2an 1，且a1，求：an习题1：已知数列 an满足：an 卅-3a n = 1 且 ai = 1，求：an习题2：已知数列：an满足：a2，且Sn an = n，求：an(5) 若an满足anpan pn k，则两边同时除以：pn1，构造出一个等差数列,再求出：an例题：已知 an满足：6 = 1 an .1 =2an 2n-，求：an解:an2n 1On .丄2n 2，既有:所以:岂是首项为:2n空二1，公差d二1的等差数列2 2 2所以:.2nJan 2n习题 1:已知 a* i -3an = 3n 1 且 = 1，求：an习题2：已知an 2an 3 2n J且印=1，求：an(六)待定系数法：若:an /满足以下关系：ankan f n都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提k，对f (n)待定系数例题1：已知数列an满足3n23n 3 5“，36，求数列的通项公式.解：an申+x5n* =2(an+x5n)n an* =2an3x 5n，与原式对应得，x = 1a _5n +盼-51 =2(an-5n)=2an -5所以：:an -5n /是首项-i -51，公比q = 2的等比数列既有：-n -5n =：2心:-n =5n 2nJ例题2 :已知数列-n满足-n3-n 5 24, - 1，求数列-n的通项公式.解：-n 1 x 2n 1 y = 3(-n x 2n y)二-n 1 =3-n x 2n 2y，与原式对应得：x = 5, y = 2-n 1 5 2n 1 2 =3(an 5 2n 2)二-n 1 5 2n 2 =3an 5 2n 2所以：-n 5 2n - 2?是首项为：-1 5 21 13，公比q = 3的等比数列既有：-n 5 2n -13 3n J : -n =13 3nJt-5 2n-2（七）颠倒法：若满足：时=%，用颠倒法;an 1C ana.C1 _ an C an 1 C ananC anC an1 1=+ Can所以:1 丄an 1 an所以:- 是以首项为:an11,公差d的等差数列印C例题1 :已知an 12 anan 2求:例题 2:已知 an 1 an =3an-3an 1，且 a“ =1，求：a.（八）倒数换元法：若数列F满足：护,则颠倒变成1an -1丿务C上丄芒A anA an Aqr 1然后再用两边加： 一J或者待定系数法既可求出 彳一 ，再颠倒就可得到：anP -1、an J2a例题：若数列满足：an厂上二，且印=1，求：ana +3解:-2an = 3 1，两边加:an 3 an 12 an 21 得:1 二an2-1 =2(丄 1=2 anan 1+ 1an 1an所以:1丿一+1是首项为: 冃 J11=2，公比:a1=的等比数列;2既有:丄1=2 an/3 n（2）二n -1& -2an-22门-2an若用待定系数法：2an1311131an 1x(x)a.+3an卅2an 2a.*2a.丄X”丄3X-an 12 an 21an 13丄 lx与原式子对应得2 an 2X =1，然后的方法同上;习题：已知 3an 1 a 2an d -an 且a1 =1，求：an四、求前n项和Sn的方法n项和;或者是等差与（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设an为等差数列，bn为等比数列，求：an bn或 鱼 的前n项和常用此方法（色1都转变为乘积bnbn形式）例题1:已知数列an =2n，数列bn的前n项和n2 2n，求数列an bn的前n项和Tn例题2:求数列an =空丿的an bn的前n项和S2习题 1:求：Sn =1 2 4 22 7 23 . (3n 2) 2n习题2:设数列an(2n 1)，求an的前n项和Sn(2) 裂项相消求和1 1111适用于an丄的形式，变形为：an-丄(丄-亠)n，(n +k)n，(n +k) k n n + k例题：求数列an - 的前n项和Snn n(n +1)习题1：1求数列an- 的前n项和Snn(n +2)习题2：求数列1+*+WE 的前n项和.(3) 、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减;例题：求an = 3n 2n 1的前n和Sn ？习题1：已知a.是一个递增的等差数列且 a2 04 = 45 a5 =14，a.前n项和为Sn数列bn -22n 1的前n项和为Sn，求数列Cn = an - 2g的前n项和Tnn项和Sn用倒序求和f(1)f(2)f(n)(3)、倒序求和：若ak an J,f (k)，则an的前前【角标之和为n1, f(n)可以为一个常数， 能用倒序求和的，定是可求的】例题1:若数列am an 1=2“，求an的前前n项和Sn习题2 ：若数列ak = 3k - a*1，求a*的前前n项和Sn欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求