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高考数学精品复习资料 2019.5www.ks5u.com集合与函数课时提升训练(13)1、已知集合,若集合,且对任意的,存在,使得(其中),则称集合为集合的一个元基底.()分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底,并说明理由;,;,.()若集合是集合的一个元基底,证明:;()若集合为集合的一个元基底,求出的最小可能值,并写出当取最小值时的一个基底.2、若集合具有以下性质:,;若,则,且时,.则称集合是“好集”.()分别判断集合,有理数集是否是“好集”,并说明理由;()设集合是“好集”,求证:若,则;()对任意的一个“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.命题:若,则必有;命题:若,且,则必有;3、若为集合且的子集,且满足两个条件:;对任意的,至少存在一个,使或.则称集合组具有性质.如图,作行列数表,定义数表中的第行第列的数为.()当时,判断下列两个集合组是否具有性质,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由;集合组1:;集合组2:.()当时,若集合组具有性质,请先画出所对应的行3列的一个数表,再依此表格分别写出集合;()当时,集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组,求的值及的最小值.(其中表示集合所含元素的个数)4、已知函数在区间上为增函数,且。(1)当时,求的值;(2)当最小时,求的值; 若是图象上的两点,且存在实数 使得,证明:。 5、(本小题满分14分)对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底,为常数).()讨论函数的单调性;()设,试探究函数与函数是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.6、设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)记集合S=若,分别为集合元素S,T的元素个数,则下列结论不可能的是 A=1且=0 BC=2且=2 D =2且=3 7、设,已知函数的定义域是,值域是,若函数g(x)=2x-1+m+1有唯一的零点,则( )A2 B C1 D0 8、已知函数,在定义域-2,2上表示的曲线过原点,且在x1处的切线斜率均为有以下命题:是奇函数;若在内递减,则的最大值为4;的最大值为,最小值为,则; 若对,恒成立,则的最大值为2其中正确命题的个数为 A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个 11、设函数的最大值为,最小值为,那么 . 12、(本小题满分14分)已知函数()求函数的定义域,并证明在定义域上是奇函数;()若恒成立,求实数的取值范围;()当时,试比较与的大小关系13、对于实数,称为取整函数或高斯函数,亦即是不超过的最大整数.例如:.直角坐标平面内,若满足,则 的取值范围 1、解:()不是的一个二元基底.理由是 ;是的一个二元基底. 理由是 ,.()不妨设,则形如的正整数共有个;形如的正整数共有个;形如的正整数至多有个;形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数,为集合的一个元基底.故,即.()由()可知,所以.当时,即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底,不妨设,则.当时,有,这时或.如果,则由,与结论*矛盾.如果,则或.易知和都不是的4元基底,矛盾.当时,有,这时,易知不是的4元基底,矛盾.当时,有,这时,易知不是的4元基底,矛盾.当时,有,易知不是的4元基底,矛盾.当时,有,易知不是的4元基底,矛盾.当时,有,易知不是的4元基底,矛盾.当时,有,易知不是的4元基底,矛盾.当时,均不可能是的4元基底.当时,的一个基底;或3,7,8,9,10;或4,7,8,9,10等,只要写出一个即可.综上,的最小可能值为5. 2、解:()集合不是“好集”. 理由是:假设集合是“好集”. 因为,所以. 这与矛盾.有理数集是“好集”. 因为,,对任意的,有,且时,.所以有理数集是“好集”.()因为集合是“好集”,所以 .若,则,即.所以,即.()命题均为真命题. 理由如下:对任意一个“好集”,任取, 若中有0或1时,显然.下设均不为0,1. 由定义可知:.所以 ,即.所以 . 由()可得:,即. 同理可得.若或,则显然.若且,则.所以 .所以 由()可得:.所以 .综上可知,即命题为真命题.若,且,则.所以 ,即命题为真命题. 3、()解:集合组1具有性质.所对应的数表为:集合组2不具有性质.因为存在,有,与对任意的,都至少存在一个,有或矛盾,所以集合组不具有性质.(注:表格中的7行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同)()设所对应的数表为数表,因为集合组为具有性质的集合组,所以集合组满足条件和,由条件:,可得对任意,都存在有,所以,即第行不全为0,所以由条件可知数表中任意一行不全为0.由条件知,对任意的,都至少存在一个,使或,所以一定是一个1一个0,即第行与第行的第列的两个数一定不同.所以由条件可得数表中任意两行不完全相同.因为由所构成的元有序数组共有个,去掉全是的元有序数组,共有个,又因数表中任意两行都不完全相同,所以,所以.又时,由所构成的元有序数组共有个,去掉全是的数组,共个,选择其中的个数组构造行列数表,则数表对应的集合组满足条件,即具有性质.所以.因为等于表格中数字1的个数,所以,要使取得最小值,只需使表中1的个数尽可能少,而时,在数表中,的个数为的行最多行;的个数为的行最多行;的个数为的行最多行; 的个数为的行最多行;因为上述共有行,所以还有行各有个,所以此时表格中最少有个.所以的最小值为. 4、解:。(1)当时,由,得或,所以在上为增函数,在,上为减函数,由题意知,且。因为,所以,可知。(2) 因为, 当且仅当时等号成立。由,有,得;由,有,得;故取得最小值时,。此时, 由知,欲证,先比较与的大小。因为,所以,有,于是,即,另一方面,因为,所以,从而,即。14分同理可证,因此。5、(本小题满分14分)解:(1),当时,即,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数;当时,函数是区间上的增函数 当时,即,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数.(2)若存在,则恒成立,令,则,所以,因此:恒成立,即恒成立,由得到:,现在只要判断是否恒成立,设,因为:,当时,当时,所以,即恒成立,所以函数与函数存在“分界线”. 6、D 7、C 8、B 11、4021 12、解:()由,解得或, 函数的定义域为 当时, 在定义域上是奇函数。()由时,恒成立, 在成立 令,由二次函数的性质可知时函数单调递增,时函数单调递减,时,()= 证法一:设函数,则时,即在上递减,所以,故在成立,则当时,成立.证法二:构造函数, 当时,在单调递减,当()时, 13、(1,5)10,20)
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