. 习 题 三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设试求：（1）的联合分布律；（2）解 （1） 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1)下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0.第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为.因此由乘法定理得第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为. 第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为.因此由乘法定理得于是所求的分布律为 0 10 0 1 （2）=2. 将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出的联合分布律.解 由表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为，所以精品.，的取值为，的取值为，且于是 而均为不可能事件.所求的的联合分布律为 0 1 2 31 0 03 0 3. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求的联合分布律.解 的取值为，的取值为,其联合分布律为 0 1 2 30 0 0 1 0 2 0 4. 设二维随机变量概率密度为求:（1）常数；（2）；（3）；（4）.精品.解 （1）由概率密度的性质，得,故.于是 (4）. 5. 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中，试求关于的一元二次方程无实根的概率.解 二维随机变量在区域服从均匀分布，由的面积，所以的概率密度为 若关于的一元二次方程无实数根，则判别式 的一元二次方程无实数根的概率为.6. 设与的联合概率密度为 求与的联合分布函数精品. 解 7. 设与的联合概率密度为 y O 图3-7其中区域如图3-7所示，试求与的边缘概率密度. 2解 8. 二维随机变量概率密度为 试求:（1）确定常数；（2）边缘概率密度.解 （1）由概率密度的性质 ，得,故.于是 (2) 的边缘概率密度的边缘概率密度9. 设袋中有标记为的四张卡片，从中不放回地抽取两张，表示首次抽到的卡片上的数字，精品.表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 .（1）求的概率分布；（2）给出与的边缘分布；（3）求在下的条件概率分布和在下的条件概率分布.解 (1) 的取值为，的取值为,的概率分布为 1 2 3 41 2 3 0 （2）给出与的边缘分布 1 2 3 4 1 2 3 （3）求在下的条件概率分布 1 2 3 在下的条件概率分布 1 4精品. 10. 在第8题中，试求（1）已知事件发生时的条件概率密度；（2）.解 （1）由已知事件发生时的条件概率密度（2）.由当时11. 设服从区域上的均匀分布，设区域；（1）写出的联合密度函数；（2）给出与的边缘密度函数；(3）求在时的条件密度函数和在时的条件密度函数；.（4）求概率.精品.解 （1）区域的面积.的联合密度函数为 （2）与的边缘密度函数；（3） ，在时的条件密度函数已知事件发生时的条件概率密度（4）概率 12. 二维随机变量概率密度为求解 从而 精品.于是 从而13. 相互独立，的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表 完成上述表格中的空格. 解. 相互独立，有的可能取值有，的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表 14. 已知随机变量与的分布律分别为精品. -1 0 1 0 1 已知 .试求 （1）与的联合分布律；（2）与是否相互独立？为什么？解 （1）由 可知故 因而 与的联合分布律的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表 由以上结果 ， ，于是与不独立.15. 二维随机变量概率密度为试求（1）与是否相互独立？为什么？；精品.(2） ， 与，其中 解 （1）的边缘概率密度的边缘概率密度对于任意的常数有.所以与是否相互独立（2） 与，其中 16. 与是相互独立的随机变量,在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为（1） 试求与的联合概率密度；（2） 设含有的二次方程，试求有实根的概率.解（1）在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度（2）含有的二次方程，若 有实根，则判别式 精品.的二次方程，若 有实根的概率为17. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于”的概率. 解 在区间(0,1)内任取两个数分别为随机变量与在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度事件“两数之和小于”的概率. 18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止 ，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为 的指数分布，即的概率密度为现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率；(2)恰好用两根钻头的概率。解 （1） 设钻头的寿命为随机变量, 只需一根钻头的概率为设两根钻头的寿命分别为随机变量与，它们是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度(2) 恰好用两根钻头的概率为精品. 19. 设与相互独立且服从同一分布律 0 1 1/2 1/2求 （1）的分布律；（2）的分布律；（3）的分布律.解 由的分布律可得 （0，0）（0，1）（1，0）（1，1） 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1则（1）的分布律为 0 1 （2）的分布律为 0 1 （3）的分布律.0 1 20. 设与相互独立，服从（0,1）上的均匀分布,服从参数为1的指数分布，试求精品.的概率密度.解 在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为服从参数为1的指数分布,的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度的概率密度.=.由 21. 设二维随机变量概率密度为(1) 问与相互独立？为什么？（2）试求的概率密度.解 （1）的边缘概率密度的边缘概率密度对于有.与不独立（2）的概率密度精品.其中 22. 设二维随机变量概率密度为(1) 试确定常数；（2） 求与的边缘概率密度；（3） 求函数的分布函数解 （1）由概率密度的性质，得,故.于是 (2)的边缘概率密度的边缘概率密度对于任意有.与相互独立(3) 函数的分布函数，的分布函数精品.的分布函数23. 与是相互独立的随机变量,其概率密度分别为其中是常数.又随机变量(1)求条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数.解（1）因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度当时,条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数 精品.若当时，则是不可能事件，所以=0. 当时， 当时， 故随机变量的分布函数为