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2012年全国初中数学竞赛试题(正题)题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时注意:1用圆珠笔或钢笔作答;2解答书写时不要超过装订线;3草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1(甲)如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为( ) (第1(甲)题)(A)2c-a (B)2a-2b (C)-a (D)a 1(乙)如果,那么的值为( )(A) (B) (C)2 (D)2(甲)如果正比例函数y = ax(a 0)与反比例函数y =(b 0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(3,2),那么另一个交点的坐标为( )(A)(2,3) (B)(3,2) (C)(2,3) (D)(3,2)2(乙) 在平面直角坐标系中,满足不等式x2y22x2y的整数点坐标(x,y)的个数为( )(A)10 (B)9 (C)7 (D)53(甲)如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )(A)1 (B) (C) (D)3(乙)如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,ABC是等边三角形,AD = 3,BD = 5,则CD的长为( )(第3(乙)题)(A) B)4 (C) (D)4.54(甲)小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)44(乙)如果关于x的方程 是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 85(甲)一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为,则中最大的是( )(A) (B) (C) (D)5(乙)黑板上写有共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数,然后删去,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( )(A)2012(B)101 (C)100 (D)99二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6(甲)按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .(第6(甲)题)6(乙). 如果a,b,c是正数,且满足,那么的值为 7(甲)如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则DMN的面积是 .(第7(甲)题)(第7(乙)题)7(乙)如图,的半径为20,是上一点.以为对角线作矩形,且.延长,与分别交于两点,则的值等于 8(甲)如果关于x的方程x2+kx+k23k+= 0的两个实数根分别为,那么 的值为 8(乙)设为整数,且1n2012. 若能被5整除,则所有的个数为 .9(甲)2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .9(乙)如果正数x,y,z可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数若和均为三角形数,且abc,则的取值范围是 10(甲)如图,四边形ABCD内接于O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BFEC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,BC = 6,则CF的长为 .(第10(甲)题)10(乙)已知是偶数,且1100若有唯一的正整数对使得成立,则这样的的个数为 三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11(甲)已知二次函数,当时,恒有;关于x的方程的两个实数根的倒数和小于求的取值范围11(乙) 如图,在平面直角坐标系xOy中, AO = 8,AB = AC,sinABC=CD与y轴交于点E,且SCOE = SADE. 已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.(第11(乙)题)12(甲)如图,的直径为,过点,且与内切于点为上的点,与交于点,且点在上,且,BE的延长线与交于点,求证:BOC(第12(甲)题)12(乙)如图,O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线, AC的中点I是ABD的内心. 求证:(1)OI是IBD的外接圆的切线;(2)AB+AD = 2BD.(第12(乙)题)13(甲)已知整数a,b满足:ab是素数,且ab是完全平方数. 当a2012时,求a的最小值.13(乙)凸边形中最多有多少个内角等于?并说明理由14(甲)求所有正整数n,使得存在正整数,满足,且.14(乙)将(n2)任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数(可以相同)使得,求的最小值2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案 一、选择题1(甲)C解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知,且,所以 1(乙)B解:2(甲)D解:由题设知,所以.解方程组得 所以另一个交点的坐标为(3,2).注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).2(乙)B解:由题设x2y22x2y, 得02.因为均为整数,所以有解得以上共计9对.3(甲)D 解:由题设知,所以这四个数据的平均数为,中位数为 ,于是 .3(乙)B解:如图,以CD为边作等边CDE,连接AE. (第3(乙)题)由于AC = BC,CD = CE,BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE,所以BCDACE, BD = AE.又因为,所以.在Rt中,于是DE=,所以CD = DE = 4. 4(甲)D解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,均为非负整数. 由题设可得消去x得 (2y7)n = y+4,2n =.因为为正整数,所以2y7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,74(乙)C解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为,故方程的根为一正一负由二次函数的图象知,当时,所以,即 . 由于都是正整数,所以,1q5;或 ,1q2,此时都有. 于是共有7组符合题意 5(甲)D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以,因此最大5(乙)C解:因为,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则,解得 ,二、填空题6(甲)7x19解:前四次操作的结果分别为3x2,3(3x2)2 = 9x8,3(9x8)2 = 27x26,3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487,81x80487.解得 7x19.容易验证,当7x19时,487 487,故x的取值范围是7x196(乙)7解:由已知可得7(甲)8解:连接DF,记正方形的边长为2. 由题设易知,所以,由此得,所以.(第7(甲)题)在RtABF中,因为,所以,于是 .由题设可知ADEBAF,所以 ,.于是 ,. 又,所以. 因为,所以.7(乙)解:如图,设的中点为,连接,则因为,所以,(第7(乙)题)所以 .8(甲)解:根据题意,关于x的方程有=k240,由此得(k3)20 又(k3)20,所以(k3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2=. 故=8(乙)1610解:因为=.当被5除余数是1或4时,或能被5整除,则能被5整除;当被5除余数是2或3时,能被5整除,则能被5整除;当被5除余数是0时, 不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为9(甲)8解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知,由此得0b43.又 ,所以. 于是043,87130,由此得 ,或.当时,;当时,不合题设.故9(乙) 1解:由题设得所以 ,即 .整理得,由二次函数的图象及其性质,得.又因为 1,所以1.10(甲)解:如图,连接AC,BD,OD. (第10(甲)题)由AB是O的直径知BCA =BDA = 90.依题设BFC = 90,四边形ABCD是O的内接四边形,所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ,因此 .因为OD是O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,ODBC, 于是 . 因此.由,知因为,所以 ,BA=AD ,故.10(乙). 12解:由已知有,且为偶数,所以同为偶数,于是是4的倍数设,则125()若,可得,与b是正整数矛盾()若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对满足;若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对满足()若是素数,或恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对满足因为有唯一正整数对,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有12个三、解答题11(甲)解: 因为当时,恒有,所以,即,所以 (5分)当时,;当时,即,且,解得(10分)设方程的两个实数根分别为,由一元二次方程根与系数的关系得因为,
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