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衍生品定价的girsanov变换及鞅方法原理下面是从一个论坛上转帖的,希望能对正在学习风险中性变换中Girsanov变换的同学有些帮助(其实我自己都云里雾里的)你不要把girsanov变换看得那么神秘。我估计不少人现在对这个变换也是仅得其形未得其实:让他们做题死套都能得高分,但没有几个明白其中原理。所以我一再强调,即使对于数学,也要理解其物理含义。没有弄明白物理含义的数学,就等价于没有学懂。girsanov变换,本质上就是:前提:给定一个随机变量,其对应一个分布函数A。变换:现在让此随机变量增加一个漂移(注意,增加漂移后的随机变量不再是原来那个随机变量,这应很好理解)。计算:计算出新随机变量的分布函数B。从分布函数A计算出分布函数B的过程,就是girsanov变换因为girsanov给出了以漂移量为参数,直接从分布函数A计算出分布函数B的通式。就这么简单。大家学过起码的概率论的同学,应该还记得怎么把任何一个正态分布转化为标准正态分布,然后查标准正态表,计算出原正态分布下的各种数值的做法吧?那就是girsanov变换,减掉一般正态分布的漂移量,使其期望值为零呵呵弄个骇人的名字,就是鞅。然后对方差处理为1。简单说,就是把复杂难以计算的分布,转化为标准分布,根据标准分布计算出的数据,返回去再计算原分布下的数据。这么一个东西,显然是没有任何神奇在里面的。准确地说,girsanov变换,应叫做:“随机运动平移的概率分布计算通式”。呵呵这个名字一起,同学们的神秘感就会消失了吧?所以很多学问,与其说太深奥,不如说其名字起得太悬乎,大家花在名字理解上的时间,比去推导还要多。那么,期权定价的girsanov变换,导致的风险中性概率又是如何来的呢?凭借我上面的解释,girsanov不能有那么神奇的力量,居然能脱离科学关系分析,纯粹通过数学变换,计算出科学关系来这简直就是神。其实,期权定价的此变换之前,首先就确定一个科学内容的前提:均衡价格下,任何资产任何时候,以无风险利率贴现到当前的值之期望值相等。呵呵以学术性的术语说,就是:任何资产任何时候,以无风险利率贴现到当前的值是鞅。只不过大家对前一种表述都能明白;后一种表述,就都不明白罢了。按道理说,资产价格的实际漂移率显然不是无风险利率,而是此资产的风险收益率。那么通过girsanov变换,是可以消掉此资产的风险收益率漂移项,把资产价格的随机运动转化为标准维纳运动,根据标准维纳运动计算出的数据,返回去计算平移前风险分布下的数据。这个办法理论上可以,但问题是算了半天,证券风险还是原来的风险,那对算期权半点用处没有。所以这个办法搞不定。但诸位可以对girsanov变换的作用有进一步认识了。所以,期权定价就要动用均衡价格下的风险收益率等效用原理了。即,均衡价格下,任何资产任何时候,以无风险收益率贴现的现值之期望相等当然,此时无风险收益率对应的风险为何,期权定价理论是没有说的了。但期权理论隐含承认:只要可以无风险收益率贴现,则风险偏好因素再不需要考虑这个结论也是预先假定的科学结论,而不是通过什么测度变换来证明的。事实上,我以为,这个科学关系的认定,是首先根据公式,发现有这么一个无风险利率代换及概率模样东西,然后霸王硬上弓对照提出科学关系即西方经济学常干的,先稀里糊涂计算出结论,然后把结论认作前提,返过去计算出种种关系。这样,第二步:将资产未来价格的无风险贴现,通过微分展开,获得一个含漂移的随机运动。(这个大家很好理解吧?明明资产的风险收益率高于无风险收益率,你却偏偏用无风险收益率贴现,则随着时间变化,当前的贴现值当然要增长)。第三步:可是科学关系要求:无风险折现的现值没有漂移。好了,girsanov用上了。即用girsanov,把漂移值去掉(即为鞅),获得的新概率分布,不就可以保证科学关系成立了么?这个获得的新概率分布,就是所谓的风险中性概率。特别地,大家看到,这里girsanov测度变换,不是对资产自身随机运动的变换。考虑无风险贴现之科学关系时,把无风险收益率和资产自身随机运动通过贴现组合在一起,形成的新随机运动,新随机运动中,必定出现风险收益率与无风险利率之差距而导致的漂移。girsanov变换,则是消掉新随机运动中的漂移。同样,这个概率模样的东西,也不是真正的概率。它只是科学关系的均衡价格之效用等价限制下,计算出来的概率模样的东西。虽然它不是概率,但其数学形式与概率完全一样,所以概率变换的内容仍然适用。再次要说的是,它也根本不是资产价格随机运动的平移,即不是资产价格实际分布函数通过girsanov变换来的。以学术语言说:新概率,不是资产价格实际概率测度的girsanov变换。它是资产价格随机运动,减去同样贴现值的无风险资产价格运动之差(其差为带漂移的随机运动),通过girsanov变换而得到。这种变换,已经不再是通过变换后的函数,计算变换前的函数值,而是,直接把变换后的函数,作为满足科学关系的函数。其变换后的函数,能够不通过变换前函数,就用于计算的条件,就是科学前提之许可:它可以这么做。换言之,如果没有科学理论的支持,则,任何计算,其girsanov变换,只是使得计算更简单,但必须最后要回到变换前的函数,根据变换前后的变量关系,计算出原函数的各种数据。因此,从期权定价的girsanov变换过程及其物理意义,我们可以看到,科学上的均衡价格和均衡价格下收益风险等效用原理,才是其前提。它是在这个前提下进行变换,而不是说通过纯粹数学的变换居然能证明出前提。也可以看出,风险中性概率,就是一个确定比例,根本不是真正意义上不确定的概率。最简单的例子,如果没有科学上要求贴现值期望不随时间变化(资产价格为非均衡时,此条件是不能满足的,必定有漂移值),则后面一系列推导都无法进行。必须去掉非均衡价格中的套利部分,才能进行其后的计算。你说“我不得不怀疑,你的对衍生产品定价理论的认识还停留在70年代。”对此我的回答是:我的书中,反复强调大家要弄明白最基础的理论。不要因为一个理论的古老,就不去理解它最前沿的理论,都是建立在这些基础理论之上。你没有理解基础理论,就不可能真正明白前沿理论。最后再送一句话:数学永远只是语言,是符号系统。科学是现实物质关系。数学只能描述科学,但不能创造科学。如果一个科学结论缺乏相应的科学前提,则无论多么高明的数学变换,也不能使这个科学结论成立。记住这个结论,能省你很多力气。
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