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精品资料第四节直线、平面平行的判定及其性质 高频考点考点一 线面平行的判定及性质1线面平行的判定及性质是每年高考的必考内容,多出现在解答题中的第(1)、(2)问,难度适中,属中档题2高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下两个命题角度:(1)以多面体为载体,证明线面平行问题;(2)以多面体为载体,考查与线面平行有关的探索性问题例1(1)(2013福建高考)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC5,DC3,AD4,PAD60.当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);若M为PA的中点,求证:DM平面PBC;求三棱锥DPBC的体积(2)(2014日照模拟)如图所示,四边形ABCD为矩形,DA平面ABE,AEEBBC2,BF平面ACE于点F,且点F在线段CE上求证:AEBE;设点M在线段AB上,且满足AM2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN平面ADE.自主解答(1)法一:在梯形ABCD中,过点C作CEAB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AEDC3,在RtBEC中,由BC5,CE4,依勾股定理得BE3,从而AB6.又由PD平面ABCD,得PDAD,所以在RtPDA中,由AD4,PAD60,得PDADtan 604.正视图如图(1)所示:图(1)图(2)证明:如图(2)所示,取PB中点N,连接MN,CN.在PAB中,M是PA中点,MNAB且MNAB3.又CDAB,CD3,MNCD,MNCD,四边形MNCD为平行四边形,DMCN.DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.VDPBCVPDBCSDBCPD,又SDBC6,PD4,VDPBC8.法二:同法一证明:取AB的中点E,连接ME,DE.在梯形ABCD中,BECD,且BECD,四边形BCDE为平行四边形,DEBC.DE平面PBC,BC平面PBC,DE平面PBC.在PAB中,MEPB,ME平面PBC,PB平面PBC,ME平面PBC.DEMEE,平面DME平面PBC.DM平面DME,DM平面PBC.来源:www.shulihua.net同法一(2)证明:由DA平面ABE及ADBC,得BC平面ABE,又AE平面ABE,所以AEBC,因为BF平面ACE,AE平面ACE,所以BFAE,又BCBFB,BC,BF平面BCE,所以AE平面BCE.因为BE平面BCE,故AEBE.在ABE中,过点M作MGAE交BE于点G,在BEC中,过点G作GNBC交CE于点N,连接MN,则由,得CNCE.来源:www.shulihua.net因为MGAE,AE平面ADE,MG平面ADE,所以MG平面ADE,又GNBC,BCAD,AD平面ADE,GN平面ADE,所以GN平面ADE,又MGGNG,所以平面MGN平面ADE,因为MN平面MGN,所以MN平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时,MN平面ADE.线面平行问题的常见类型及解题策略(1)线面平行的证明问题判断或证明线面平行的常用方法有:利用线面平行的定义(无公共点);利用线面平行的判定定理(a,b,aba);利用面面平行的性质(,aa);利用面面平行的性质(,a,a,aa)(2)线面平行的探索性问题对命题条件的探索常采用以下三种方法:a先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;b先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;c把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件对命题结论的探索常采用以下方法:首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,如果得到了矛盾的结果就否定假设来源:www.shulihua.net1. (2013新课标全国卷)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设AA1ACCB2,AB2,求三棱锥CA1DE的体积解:(1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点又D是AB中点,连接DF,则在ABC1中,BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以AA1平面ABC,则AA1CD.由已知ACCB,D为AB的中点,所以CDAB.又AA1ABA,AA1,AB平面ABB1A1,所以CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2,AB2,得ACB90,CD,A1D,DE,A1E3,故A1D2DE2A1E2,即DEA1D.所以VCA1DE1.2.如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DCDD12AD2AB,ADDC,ABDC.(1)求证:D1CAC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E平面A1BD,并说明理由解:(1)证明:在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,连接C1D,DCDD1,四边形DCC1D1是正方形,DC1D1C.又ADDC,ADDD1,DCDD1D,DC,DD1平面DCC1D1,AD平面DCC1D1,又D1C平面DCC1D1,ADD1C.AD平面ADC1,DC1平面ADC1,且ADDC1D,D1C平面ADC1,又AC1平面ADC1,D1CAC1.(2)连接AD1,AE,D1E,设AD1A1DM,BDAEN,连接MN,平面AD1E平面A1BDMN,要使D1E平面A1BD,可使MND1E,又M是AD1的中点,则N是AE的中点又易知ABNEDN,ABDE.即E是DC的中点综上所述,当E是DC的中点时,可使D1E平面A1BD.考点二面面平行的判定与性质 例2如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1平面BCHG.自主解答(1)G,H分别是A1B1,A1C1的中点,GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.来源:www.shulihua.net又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面(2)E,F分别是AB,AC的中点,EFBC.EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1GEB,A1G=EB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEFE,平面EFA1平面BCHG.【互动探究】在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1平面AC1D.证明:如图所示,连接A1C交AC1于点H,四边形A1ACC1是平行四边形,H是A1C的中点,连接HD,D为BC的中点,A1BDH.A1B平面A1BD1,DH平面A1BD1,DH平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1BD,D1C1=BD四边形BDC1D1为平行四边形,DC1BD1.又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1,DC1平面A1BD1,又DC1DHD,平面A1BD1平面AC1D.【方法规律】判定面面平行的四种方法(1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用)(2013陕西高考)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心, A1O底面ABCD,ABAA1.(1)证明:平面 A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积解:(1)证明:由题设知,BB1DD1,BB1=DD1四边形BB1D1D是平行四边形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,B1D1平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC,A1D1=B1C1=BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BD1C.又A1B平面CD1B1,D1C平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1BB,平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1,AA1,A1O1.又SABD1,VABDA1B1D1SABDA1O1.考点三平行关系的综合应用 例3 如图所示,平面平面,点A,点C,点B,点D,点E,F分别在线段AB,CD上,且AEEBCFFD. (1)求证:EF平面;(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC4,BD6,且AC,BD所成的角为60,求EF的长自主解答(1)证明:当AB,CD在同一平面内时,由平面平面,平面平面ABDCAC,平面平面ABDCBD,ACBD.AEEBCFFD,EFBD.又EF,BD,EF平面.当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACD平面DH,且DHAC.平面平面,平面平面ACDHAC,ACDH,四边形ACDH是平行四边形,在AH上取一点G,使AGGHCFFD,连接EG,FG,BH.又AEEBCFFDAGGH,GFHD,EGBH.又EGGFG,BHHDH,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF平面.综合可知EF平面.(2)如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.E,F分别为AB,CD的中点,MEBD,MFAC,且MEBD3,MFAC2.EMF为AC与BD所成的角或其补角,EMF60或120.在EFM中,由余弦定理得EF ,即EF或EF.【方法规律】1解决本题的关键是构造过EF且平行平面和平面的平面来源:www.s
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