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成都龙泉二中2016级高三上学期12月月考试题数学(理工类)(时间:120分 满分:150分 )注意事项:1.答题时,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答:先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将答题卡上交;第卷(选择题部分,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设集合,则( )A B C D2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 3. 已知命题P:,那么命题为A. B. C. D. 4某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中几录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示:x3456y2.534a若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35,则表中a的值为()A3 B3.15 C3.5 D4.55.如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1,)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 166. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 7. 已知函数,将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,再把所得的图象向右平移个单位长度,所得的图象关于原点对称,则的一个值是( )A. B. C. D. 8. 根据如下程序框图,运行相应程序,则输出的值为( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 69. 被圆所截弦长为4,则的最小值是( )A. 3 B. C. 2 D. 10. 设,、,且,则下列结论必成立的是A. B. +0 C. D. 11.已知抛物线:的焦点为,过且斜率为1的直线交于,两点,线段的中点为,其垂直平分线交轴于点,轴于点.若四边形的面积等于7,则的方程为( )A B C D12.如图,、分别是双曲线的两个焦点,以坐标原点为圆心,为半径的圆与该双曲线左支交于、两点,若是等边三角形,则双曲线的离心率为( ).A B 2 C D 第卷(非选择题部分,共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2223题为选做题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4题,每小题5分,共20分。13设a0,b0.若a+b=1,则的最小值是 . 14.若的展开式中含项的系数是,则 .15.平行四边形ABCD中,是平行四边形ABCD内一点,且,若,则的最大值为 .16. 双曲线的左、右焦点分别为,焦距为,以右顶点为圆心,半径为的圆与过的直线相切于点,设与的交点为,若,则双曲线的离心率为_.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分) 数列满足.(1)若数列为公差大于0的等差数列,求的通项公式;(2)若,求数列的前项和.18. (本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据:(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(2)已知该厂技改前,100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?,参考数值:.19. (本小题满分12分)如图所示四棱锥平面为线段上的一点,且,连接并延长交于.()若为的中点,求证:平面平面;()若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆,如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.(1)求的最小值;(2)若,求证:直线过定点. 21.(本小题满分12分)已知函数(1)讨论函数的单凋性;(2)若存在使得对任意的不等式(其中e为自然对数的底数)都成立,求实数的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),.(1)求曲线的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线?(2)设曲线与曲线的交点为,当时,求的值.23. (本小题满分10分)已知函数.(1)若,使不等式成立,求满足条件的实数的集合;(2)为中最大正整数,求证:.成都龙泉二中2016级高三上学期12月月考试题数学(理工类)参考答案15 BCCDC 610 BDBCD 1112 CD13. 414.【解析】展开式的通项公式为,.令,得; 令,得.依题设,有, 解得.15.216.【答案】2【解析】因为以右顶点为圆心,半径为的圆过的直线相切与点,A=,故可知直线的倾斜角为,设直线方程为 设点P,根据条件知N点是PQ的中点,故得到,因为,故得到 故答案为:2.17.【答案】 (1) (2) 【解析】试题分析:(1)由题意得,从而得到,设出等差数列的公差,解方程组可得,从而得到(2)由条件,可得,两式相减得),又,故,所以,然后根据可求得试题解析:(1)由已知得当时,即当时,-,得;即设等差数列的公差为,则解得或,(2))-得),即),又, , 18.【答案】(1) (2)19.65吨试题解析:(1)由对照数据,计算得,故,故.(2)将代入方程,得吨.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)19.【答案】()见解析;() .【解析】试题分析:(1)由,可知是有个角为的直角三角形。,可得,又为的中点,所以,可证平面。(2)以点为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的坐标系,由空间向量可求得二面角。试题解析:()在中,故因为,从而有,故 又,又平面,故平面,故平面.又平面,平面平面.()以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则故,设平面的法向量,则解得即设平面的法向量,则解得即从而平面与平面的夹角的余弦值为20.【答案】(1).(2)见解析【解析】试题分析:(1)设,联立直线和椭圆方程,消去,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理,求出点的坐标和所在直线方程,求点 的坐标,利用基本不等式即可求得 的最小值;(2)由(1)知所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点的坐标,并代入 ,得到 ,因此得证直线过定点;试题解析:(1)设直线的方程为,由题意,由方程组,得,由题意,所以,设,由根与系数的关系得,所以,由于为线段的中点,因此,此时,所以所在直线的方程为,又由题意知,令,得,即,所以,当且仅当时上式等号成立,此时由得,因此当且时,取最小值.(2)证明:由(1)知所在直线的方程为, 将其代入椭圆的方程,并由,解得,又,由距离公式及得,由,得,因此直线的方程为,所以直线恒过定点.21.解:(I),记 (i)当时,因为,所以,函数在上单调递增; (ii)当时,因为,所以,函数在上单调递增;(iii)当时,由,解得,所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增-(6分) (II)由(I)知当时,函数在区间上单调递增,所以当时,函数的最大值是,对任意的,都存在,使得不等式成立,等价于对任意的,不等式都成立, 即对任意的,不等式都成立,记,由,由得或,因为,所以,当时,且时,时,所以,所以时,恒成立;当时,因为,所以,此时单调递增,且,所以时,成立;当时,所以存在使得,因此不恒成立综上,的取值范围是 -(12分)另解(II)由()知,当时,函数在区间上单调递增,所以时,函数的最大值是,对任意的,都存在,使得不等式成立,等价于对任意的,不等式都成立, 即对任意的,不等式都成立,记,由,且对任意的,不等式都成立的必要条件为又,由得或因为,所以, 当时,且时, 时,所以,所以时,恒成立;当时,因为,所以,此时单调递增,且,所以时,成立综上,的取值范围是 -(12分)22.【答案】(1) 曲线为椭圆(2) 【解析】【试题分析】(1)运用直角坐标与极坐标之间的互化关系求解;(2)依据题设借助直线参数方程的几何意义分析求解: (1) 由 得,该曲线为椭圆.(2)将代入得 ,由直线参数方程的几何意义,设, ,所以 ,从而 ,由于,所以 .23.【答案】(1);(2)见解析.【解析】【试题分析】(1)化简,利用零点分段法去绝对值,将上述式子转化为分段函数,求得它的取值范围,由此求得的取值范围.(2)由(1)得, 则.【试题解析】(1)由已知得则,由于,使不等式成立,所以,即(2)由(1)知,则因为,所以,则,(当且仅当时等号成立),(当且仅当时等号成立),(当且仅当时等号成立),则(当且仅当时等号成立),即.15
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