2.6 二次函数知识梳理二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a（xx1）（xx2）；y=a（xx0）2+n.（2）当a0，f（x）在区间p，q上的最大值为M，最小值为m，令x0=（p+q）.若p，则f（p）=m，f（q）=M；若px0，则f（）=m，f（q）=M；若x0q，则f（p）=M，f（）=m；若q，则f（p）=M，f（q）=m.点击双基1.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），如果f（x1）=f（x2）（其中x1x2），则f（）等于A. B. C.c D. 解析：f（）=f（）=.答案：D2.二次函数y=x22（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为ABC的三边长，则ABC为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：y=x（a+b）2+c2+2ab（a+b）2=x（a+b）2+c2a2b2.顶点为（a+b，c2a2b2）.由题意知c2a2b2=0.ABC为直角三角形.答案：B3.已知函数f（x）=4x2mx5在区间2，）上是增函数，则f（1）的范围是A.f（1）25B.f（1）=25C.f（1）25D.f（1）25解析：由y=f（x）的对称轴是x=，可知f（x）在，+）上递增，由题设只需2m16，f（1）=9m25.答案：A4.函数f（x）=2x26x+1在区间1，1上的最小值是_，最大值是_.解析：f（x）=2（x）2.当x=1时，f（x）min=3；当x=1时，f（x）max=9.答案：3 95.（2003年春季上海）若函数y=x2+（a+2）x+3，xa，b的图象关于直线x=1对称，则b=_.解法一：二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即=1.a=4.而f（x）是定义在a，b上的，即a、b关于x=1也是对称的，=1.b=6.解法二：二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，f（x）可表示为f（x）=（x1）2+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=2.a=4，b的计算同解法一.解法三：二次函数的对称轴为x=1，有f（x）=f（2x），比较对应项系数，a=4，b的计算同解法一.答案：6典例剖析【例1】 设x、y是关于m的方程m22am+a+6=0的两个实根，则（x1）2+（y1）2的最小值是A.12B.18 C.8 D. 剖析：由=（2a）24（a+6）0，得a2或a3.于是有（x1）2+（y1）2=x2+y22（x+y）+2=（x+y）22xy2（x+y）+2=（2a）22（a+6）4a+2=4a26a10=4（a）2.由此可知，当a=3时，（x1）2+（y1）2取得最小值8.答案：C深化拓展0是二次方程有实根的隐含条件.【例2】 （2004年江苏，13）二次函数y=ax2+bx+c（xR）的部分对应值如下表：x32101234y60466406则不等式ax2+bx+c0的解集是_.解析：由表知y=a（x+2）（x3），又x=0，y=6，代入知a=1.y=（x+2）（x3）.答案：x|x3或x2【例3】 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c0的解是x，求a、b、c的取值范围.解：依题意ax2+bx+c25=0有解，故=b24a（c25）0.又不等式ax2+bx+c0的解是x，a0且有=，=.b=a，c=a.b=c，代入0得c2+24c（c25）0.c24.故得a、b、c的取值范围为a144，b24，c24.评述：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c0（或0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.闯关训练夯实基础1.下图所示为二次函数y=ax2bxc的图象，则OAOB等于A.B.C.D.无法确定解析：|OA|OB|=|OAOB|=|x1x2|=|=（a0，c0）.答案：B2.已知f（x）=x22x+3，在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_.解析：通过画二次函数图象知m1，2.答案：1，23.已知函数y=（exa）2+（exa）2（aR，且a0），求y的最小值.解：y（exex）22a（exex）2a22.令texex，则f（t）t22at2a22.texex2，f（t）（ta）2a22的定义域为2，）.抛物线的对称轴方程是ta，当a2时，yminf（a）a22；当a2且a0时，yminf（2）2（a1）2.4.要使y=x2+4x（xa）有反函数，则a的最小值为_.解析：要使y=x2+4x（xa）有反函数，则y=x2+4x在a，+）上是单调函数.a2.答案：25.已知函数f（x）=mx2+（m3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.解：若m=0，则f（x）=3x+1，显然满足要求.若m0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则m0；都在原点右侧，则解得0m1.综上可得m（，1.培养能力6.设f（x）=x22ax+2.当x1，+）时，f（x）a恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）当a1时，f（x）min=f（1）=3+2a，x1，+），f（x）a恒成立f（x）mina，即3+2aaa3.故此时3a1.（2）当a1时，f（x）min=f（a）=a22a2+2=2a2，x1，+），f（x）a恒成立f（x）mina，即2a2aa2+a202a1.故此时1a1.由（1）（2）知，当3a1时，x1，+），f（x）a恒成立.7.对于函数f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b1（a0）.（1）当a=1，b=2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.解：（1）当a=1，b=2时，f（x）=x2x3=xx22x3=0（x3）（x+1）=0x=3或x=1，f（x）的不动点为x=3或x=1.（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点对任意实数b，ax2+（b+1）x+b1=x恒有两个不等实根对任意实数b，=（b+1）24a（b1）0恒成立对任意实数b，b2+2（14a）b+1+4a0恒成立=4（14a）24（1+4a）0（14a）2（1+4a）04a23a0a（4a3）00a.8.（2003年全国，文）设函数f（x）=x2+|x2|1，xR.（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值.解：（1）f（x）=f（0）=10，f（x）不是R上的奇函数.f（1）=1，f（1）=3，f（1）f（1），f（x）不是偶函数.故f（x）是非奇非偶的函数.（2）当x2时，f（x）=x2+x3，此时f（x）min=f（2）=3.当x2时，f（x）=x2x+1，此时f（x）min=f（）=.总之，f（x）min=.探究创新9.二次函数f（x）=px2+qx+r中实数p、q、r满足+=0，其中m0，求证：（1）pf（）0；（2）方程f（x）=0在（0，1）内恒有解.证明：（1）pf（）=pp（）2+q（）+r=pm+=pm=p2m=p2m.由于f（x）是二次函数，故p0.又m0，所以pf（）0.（2）由题意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r.当p0时，由（1）知f（）0.若r0，则f（0）0，又f（）0，f（x）=0在（0，）内有解；若r0，则f（1）=p+q+r=p+（m+1）（）+r=0，又f（）0，所以f（x）=0在（，1）内有解.因此方程f（x）=0在（0，1）内恒有解.当p0时，同样可以证得结论.评述：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好的.思悟小结1.二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.教师下载中心教学点睛1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f（x）=ax2+bx+c（a0）中a、b、c的值.二次函数也可以表示为y=a（xx0）2+h或y=a（xx1）（xx2）（b24ac0）等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结：（1）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小af（r）0.（2）二次方程f（x）=0的两根都大于r（3）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根（4）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）f（q）0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.（5）方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（pq）4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：（1）二次不等式f（x）=ax2+bx+c0的解集是（，+）a0且f（）=f（）=0.（2）当a0时，f（）f（）|+|+|；当a0时，f（）f（）|+|+|.（3）当a0时，二次不等式f（x）0在p，q上恒成立或或 （4