word昆 明 学 院2015届毕业设计论文 设计论文题目 一维热传导问题的数值解法与其MATLAB模拟 子课题题目 无 姓 名伍有超 学 号 201117030225 所 属 系 物理科学与技术系 专业年级 2011级物理学2班 指导教师 王荣丽 2015 年 5 月 / 摘要本文介绍了利用别离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的根本解，并对其物理意义进展了讨论。从根本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均受初始状态的影响，而且根本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总热量保持不变。通过对一维杆热传导的分析，利用别离变量法和有限差分法对一维热传导进展求解，并用MATLAB 数学软件来对两种方法下的热传导过程进展模拟，通过对模拟所得三维图像进展取值分析，得出由别离变量法和有限差分法绘制的三维图根本一样，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。关键词：一维热传导；别离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB 模拟Abstract In this paper, the method of variable separation and finite difference method are introduced to solve the problem of one-dimensional heat conduction problems, and the physical significance of numerical methods for heat conduction problems are discussed. From the basic solution, we can see the temperature on the bar are affected by the initial state during the process of temperature balance, and basic solution also satisfy the normalization condition which implied the invariance of the total heat in the bar during the heat conduction process. Through the analysis of the one-dimensional heat conduction, by taking use of variable separation method and finite difference method, we simulated the one-dimensional heat conduction problem by MATLAB. The three-dimensional images of the simulation results obtained by the method of separation of variables and finite difference method are similar to each other, and the temperature curve is in accordance with the law of temperature variation during heat conduction. Thus, we can go to the conclusion that both methods can be used to deal with the one-dimensional heat conduction problems.Keywords: One-dimensional heat conduction; method of variable separation; finite difference method; numerical method; MATLAB simulation目 录第一章 绪论1.1.1第二章一维热传导问题的两种数值解法32.1一维热传导问题的初值问题32.2一维热传导问题的别离变量法42.3一维热传导问题的有限差分法6第三章一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟93.1一维有界杆热传导问题93.2别离变量法的MATLAB模拟93.3有限差分法的MATLAB模拟12第四章总结与展望18参考文献19谢辞20第一章 绪论热传导的概念由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。热传导是热传递三种根本方法之一，它是固体中热传递的主要方式，在不流动的液体或气体层中传递，在流动的情况下往往伴随着对流同时发生。固体、液体以与球体热传导热传导的实质是由大量的物质分子热运动相互撞击，而使能量从高温部传至低温局部，或由高温物体传给低温物体的过程。在固体中，热传导的微观过程是：在高温局部，晶体中结点上的微粒振动动能较大。在温度低的局部，微粒的振动动能比拟小。因为微粒的振动互相联系，所以在晶体内部就发生着微粒的振动，动能由动能大的局部分向给动能小的局部。在固体中热的传导，就伴随着能量的迁移。在金属物质中因为存在大量的自由电子，在不停的做无规如此运动。自由电子在热传导过程中起主要作用。在液体中传导表现为：液体分子在温度高的区域热运动比拟强，由于液体分子之间存在着相互作用，热运动的能量将逐渐向周围层传递，引起了热传导现象。由于热传导系数小，传导较慢，它与固体相似，因而不同于气体；气体依靠分子的无规如此热运动以与分子间的碰撞，在气体内部发生能量的迁移，从而形成宏观上的热量传递1。物质具有的热能(粒子无规运动动能) 是物质能量形式之一，它又对应着物质所具有的热质量，并且可看作为是热子气的质量2。物体导热过程中的热量输运对应着热质量(热子气质量) 的输运。与对流输运不同，热质的输运是属于分子输运或扩散输运。它可以用热子气的宏观速度(漂移速度) 来描述。与此类似，为了能够描述和研究热子气的宏观运动，需要建立热子气运动的速度和加速度等物理量。为了能确定热子气运动状态的变化与施加在热子气之上的非平衡作用力之间的关系，我们需要建立热质运动定律3。在热质和热子气概念根底上，建立了热子气的质量、动量和能量守恒方程；基于傅立叶导热定律求得了热子气粘性力的近似式4；傅立叶导热定律本质上是忽略惯性力条件下的热子气的压力梯度与粘性力的平衡方程，当惯性力可以忽略时，热子气的动量守恒方程退化为傅立叶导热定律。在极低温或极高热流密度时傅立叶导热定律不再适用5。在最近的20多年里，对一维体系热传导性质的研究已经从纯理论研究的兴趣延伸到了对其应用性的探讨。自从2002年G. Casati 等人提出了利用非线性参数来控制一维体系中的热流量，例如制备热整流器(thermal rectifier)的设想和方案以来，通过组合不同性质的一维晶格体系来控制和操纵热流，制备出诸如热二极管thermal diode6、热阻thermal resistance、热晶体管thermal transistor7等微观热器件的研究，为人们展示了一维体系热传导研究中诱人的应用前景8。第二章一维热传导问题的两种数值解法问题简述:一均匀细杆直径为，假设它在同一截面上的温度是一样的，杆的外表和周围介质发生热交换，并服从规律:。 (1)又假设杆的密度为，比热为，热传导系数为，式导出此时温度满足的方程。 (1)任取细杆中的一段，从时刻到时刻热量的增量为：， (2)其中是杆的截面积，通过的两端流入的热量为：。 (3)通过的侧面与周围介质发生的热交换量为：， (4)由能量守恒定律 ，以与的任意性得：， (5)记 ，可得：。 (6)假如考虑一维热传导方程的初值问题即是Cauchy 问题9：， (7)求具有所需次数偏微商的函数，满足方 程1和初始条件： 。 (8)考虑齐次热传导方程的初值问题， (9)通过推导可以推导出：。 (10)假如考虑非齐次热传导方程的齐次初始条件10的初值问题：， (11)通过推导可以推导出解为：。 (12)假如考虑非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的：。 (13)以上就为齐次热传导方程的初值问题，非齐次热传导方程的齐次初始条件的初值问题和非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的解。2.2一维热传导问题的别离变量法利用别离变量法的实验原理来解决有界长杆的热传导问题：一考虑齐次热传导方程的混合问题边界条件都是第一类情形， (14)其中为给定的函数，求解过程为首先令将其带入方程， (15)并且别离变量得两个常微分方程 ， (16)由边界条件可得：(17)为有界长杆的热传导问题11的解。二求边值问题一维热传导问题的别离变量法求边值问题的原理，即是求的非0解包括以下三种情况：1当时，该问题没有非平凡解；2当时，该问题也没有非平凡解；3当时，该问题有非平凡解；此时， (17)。 (18)假如现在考虑：， (19)将特征值代入方程得：， (20)求得通解为， (21)于是可以求解出定解问题中的一维热传导方程组且满足齐次边界条件的具有变量别离形式特解12：， (22)其中，是任意常数，在利用初值条件，可得：， (23)继而推导出：， (24)所以， (25)就为所求定解问题 (14)的特解。假如问题中的边界条件出现第二类或者第三类齐次边界条件，解法类似。2.3一维热传导问题的有限差分法一有限差分法的介绍：有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今乃被推广使用13。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进展离散，从而建立网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法的优点：它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似解法，数学观念直观，表达简单，是开展最早而且比拟成熟的数值方法。有限差分法的缺点：它是必需进展整个区域的