1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一集合与元素1. 集合是由元素组成的集合通常用大写字母 A、B、C,表示，元素常用小写字母a、b、c,表示。2. 集合中元素的属性( 1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合,绝无模棱两可的情况。( 2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能出现一次。(3)无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。3. 元素与集合的关系(1) 元素a是集合A中的元素，记做a A,读作“ a属于集合A” ；(2) 元素a不是集合A中的元素，记做a?A,读作“ a不属于集合A”4. 集合相等 如果构成两个集合的元素一样,就称这两个集合相等,与元素的排列顺序无关。二集合的分类1. 有限集：集合中元素的个数是可数的,只含有一个元素的集合叫单元素集合；2. 无限集：集合中元素的个数是不可数的；3. 空集：不含有任何元素的集合,记做 ?.三集合的表示方法1. 常用数集( 1 )自然数集：又称为非负整数集,记做N；(2) 正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或NT;(3) 整数集：全体整数的集合,记做Z(4) 有理数集：全体有理数的集合,记做Q( 5)实数集：全体实数的集合,记做 R3. 集合的表示方法(1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于 2且小于等于 8的偶数构成的集合。(2 )列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“订”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事项：元素间用逗号隔开；元素不能重复；元素之间不用考虑先后顺序；元素较多且有规律的集合的表示： 0,1,2,3，100表示不大于100的自然数构成的集合。(3) 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是x | p(x) .注意事项：写清楚该集合中元素的代号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；所有描述的内容都要写在集合符号内； 语句力求简明、准确。(4) 图示法：主要包括 Venn图(韦恩图)、数轴上的区间等。韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。4. 列举法和描述法之间的相互转换(1) 列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。(2) 描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。【随堂练一练】选择题1. 下列每组对象可构成一个集合的是()(A)中国漂亮的工艺品(B)与1非常接近的数2.3.4.(C)高一数学第一张的所有难题(D)不等式F列说法正确的是()(A)(C)已知(A)2x+3 1的解1,2 , 2,1 是两个不同的集合(B) 0与 0 表示同一个集合xQ -是有限集(D) x|x Q 且是空集已知集合，则()(B)(C)(D)S中含有三个元素且为 ABC的三边长,那么 ABC一定不是()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形5. 下列各组集合中，表示同一集合的是()(A) M (3,2),N(2,3)(B) M 2,3,N3,2(C) M (x,y)|x,N y|(D) M (3,2),N(2,4)6. 用列举法表示集合()(A) (1,2)(B) (2,1)(C) 1,2(D) 7. 由大于-3且小于11的偶数组成的集合是（）（A）,（B）（C）,（D）,8. 设a, b都是非零实数，c 0,- 可能取的值组成的集合为（）（A） 3（ B） 3,2,1（ C） 3,1，-1（ D） 3，-1二填空题9. 由实数x, -x，_，所组成的集合里最多有个元素。10. 用列举法表示集合，11. 集合1,a,b与-1,-b,1 是同一集合，则 a b12.用符号“”“ ”填空：(1) 0,_Z (2) 5 (-1,1 ) (-1,1 ) (x,y)|y三解答题13.已知2,a,b,N2a,a,且M=N试求a和b的值.14.已知集合M 2，若 2，求 x.15.已知集合.右A是单兀素集合，求a的值及集合A.集合间的基本关系子集1. 子集定义的三种语言 文字语言：对于两个集合 A和B,如果集合A中的任何一个元素都是集合 B的元素，则称集合 A是集 合B的子集，记作 A B （或A B），读作集合B含于集合A （或集合B包含集合A）。 符号语言：对于任意 a A,都有a B，则称集合A是集合B的子集。 图形语言：Venn图若集合A是集合B的子集，可用右图来表示两个集合之间的关系。任何一个集合是它本身的子集。2. 集合相等如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合 B中的任何一个元素都是集合A中的元素，则称集合 A等于集合B,记作A=B （AB且BA A=B）3. 真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于 A，则称集合A为集合B的真子集，记作A = B或BA （若A ，且，则集合 是集合的真子集）4. 子集的性质 A A,即任何一个集合都是它本身的子集 如果 A B，B A,那么 A B 如果A B，B C,那么A C 如果A=B，B = C，那么A = C二空集1. 不含任何元素的集合叫做空集，记作2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3. 0 、0、 与 之间的关系000 00三有限集合的子集的个数1.n个兀素的集合有个子集2.n个兀素的集合有个真子集3.n个兀素的集合有个非空子集4.n个兀素的集合有个非空真子集【随堂练一练一选择题1. 下列命题中，正确的有（） 空集是任何集合的真子集 若 A=B, B=C，贝U A = C 任何一个集合均有两个或两个以上的真子集 如果凡不属于 B的元素也不属于 A,则A B(A)(B)(C)(D)2. 集合M 1,2,3的真子集的个数是()(A) 6( B) 7( C) 8( D) 93. 已知1,2 M=1,2,3,4，则符合条件的集合M的个数是()(A) 3( B) 4(C) 6( D) 84. 已知M,，则下列关系中正确的是()(A) N = M(B) M(C) MN(D) M= N5. 下列六个关系式中：a ,b=b ,a ；a , b b ,a:：0: =00，其中正确的个数是()(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 6二填空题6. 已知集合2x,有且只有4个子集，则实数x的取值范围为7. 设，若A- B，贝y a的取值范围为8.若集合为空集，则实数a的取值范围为三解答题A9.设集合 A=1,2,3,B=x|xA,求集合B.10.已知集合，若，求实数m的取值范围11.设集合 A=1,a,b,B=a,ab,且 A=B,求实数a、b的值.一并集1.并集定义的三种语言 文字语言：由所有属于集合 符号语言：1.1.3 集合的基本运算A或属于集合B的元素组成的集合叫做A和B的并集，记作 A B.，或2“或”的含义：有三种情况：但 ： 但 ： 且3. 并集不是两个集合所有元素的简单拼凑，必须要满足集合元素的互异性，相同元素只能出现一次。4. 并集的运算性质： ： ： ： ； 交集1. 交集定义的三种语言 文字语言：由属于集合 A且属于集合B的所有元素组成的集合叫做 A和B的交集，记作 符号语言：，且 图形语言：Venn图2. “所有”的含义：中的任一元素都是 A和B的公共元素，A和B的公共元素都属于3. 当A和B没有公共元素时，不能说 A和B没有交集，而是4. 交集的运算性质： ； ； ； ； ； ； 三补集1.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，一般用字母U表示。全集是相对的，因研究问题而异。2. 补集定义的三种语言：A相对于全集文字语言：对于一个集合A由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合U的补集，简称为集合 A的补集。 符号语言：，且 图形语言：Venn图3. 补集是相对于全集存在的，研究一个集合的补集之前 一定要明确其所对应的全集。4. 若 ，则 和二者必居其一。【随堂练一练】选择题1. 已知集合，集合，则集合是（）（A）-1,2,3（B）-1,-2,3（C）1,-2,3（D）1,-2,-32. 设集合J，则（ ）（A）0,1（B）-1,0,1（C）0,1,2（D）-1,0,1,23. 若集合1,3,x,1, ,1,3,x ，则满足条件的实数x 有（ ）（ A）1 个（ B） 2 个（C）3 个（ D）4个4. 已知集合，则等于（ ）（A）（0,1）,（1,2）（B）（0,1）,（1,2）（ C） y|y=1 或 y=2 （D）y|y5. 已知全集 U=2,5,8，且 ,则集合A的真子集的个数为（）（A）3（B）4（ C） 5（ D） 66. 已知全集 U=2,3,5，集合 A=2，|a-5| ，若3 ，则 a 的值为（）（A）0（B）10（ C） 0 或 10（D）0 或-10填空题5. 补集运算性质：: ： ：:1. 设集合A=1,2,则满足1,2,3的集合B的个数为2. 设集合 A=（x,y）|x 2y 7, 集合 B=（x,y）|xy=-1 ，则3.已知（1,2） ，（x,y）| ， x,y）|，则 a=， b=4.已知集合 U=1,2,3,4,5， A=2,3,4 ， B=4,5 ，则三解答题1.设全集U=R,集合，或，集合，或，求 ,2. 设集合或，集合，已知-3 ， -2,0 ，用列举法写出集合 B.2