专题：法向量的详解高中数学法向量的定义：如果向量a丄平面a，那么向量a叫做平面a的 法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实 灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离” “求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大 小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：A一、求点到平面的距离设A是平面a外一点，AB是a的一条斜 线，交平面a于点B，而n是平面a的法向量,那么向量ba在n方向上的正射影长就是点A到平面a的距离h,所以h = BA - cos|bA nn例1:已知棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F分别是和CD的中点，求点A到平面DBEF的距离。解：如图建立空间直角坐标系，DB =（1，1，0），DF =（0，-，1），2（1， 0， 1）设平面DBEF的法向量为n =（x,DA1y， z），则有：n - DB = 0，艮卩 x + y = 0V 1n - DF = 0- y + z = 0 2令 x = 1, y = _1,z=取 n =(1,一1,1 ),2则A1到平面DBEF的距离hn - DA 1=1注：此题 A1 在平面 DBEF 的射影难以确定,给求解增加难度,若利用(:)式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。法向量的求解有多 种，根据线面垂直的判定定理，设n =(x, y, z),通过建立方程组求 出一组特解。二、求异面直线间的距离假设异面直线a、b ,平移直线a至a，且交b于点A,那么直线，和 b确定平面a，且直线a a，设n是平面a的法向量，那么n丄a，n 丄b。所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平 面a的距离，方法同例1。结论：l,l是两条异面直线，其公垂向量为n , C、D分别是l,l上任1 2 1 2 一点，d为l ,门间的距离，则d = 1而*腐。1 2I 二 I例 2：已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 求直线DA】和AC间的距离。 解：如图建立空间直角坐标系，则AC =( 1, 1, 0), DA = (1, 0, 1)连接AC，则AC / AC，设平面A CD的法向量为1 1 1 1 1 1n = （x, y, z），由 n - AC = 0，解得 n =（1, 1,一1）,又 AT =（0，0, 1）1 _ 1n DA = 01所以点A到平面A CD的距离为h IAA爲，即直线DA1和AC间的1 1h二飞1距离为乜。3注：这道题若用几何推理，需连结DB，交DA1C1和厶BCA分别为 E、F,并证明DDE$ABBE，且EF恰好等于DA1和AC的公垂线 段长而且三等分线段D1B，进而求解EF,解题过程几经转化，还需添 加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。三、求直线与平面所成的角直线AB与平面a所成的角e可看成是向量AB与平面a的法向量n所成的锐角的余角，所以有sin。cos-； AB,n 彳=AB -nAB - n例3：已知棱长为1的正方体ABCDABCD 中,E是AB的中点，求直线AE与平面ABCD 所成的角。解：如图建立空间直角坐标系，AB =（0，1，0），眄=（1，0，1），AE =（0, 1, 1）2设平面ABCD的法向量为n =（x, y, z）,n - AB 二 0Fn - AD 二 01可解得n =（1，0, 1）设直线AE与平面ABCp 所成的角为e,则。应-n,1 1sin 0 = ;r = AE - n 5:.0 = arcsin5四、求二面角的大小若厂、厂分别为平面a,卩的法向量，则二面 a B角a-1-p的平面角,角）。0 = arccosannapn - n或者其补例4：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面 ABCD 所成的二面角的大小。所以，cos； n , n- 1 22 -n-n12n - n3所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos亘或兀-arccos 辽 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。五、证明两平面平行或垂直 若aB,贝In n ；反之也成立。a B 若a丄B,贝I/丄n ；反之也成立。aBA#、A1D和B1A上任一点,面 A1EF平面 BMC。证明：如图建立空间直角坐标系,则AC =110，1）（1， 1， 0），Be10，1)， BA1例5：已知棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F、M分别是AD =（1，11,1）A F =卩 A D， B M = v B A （九、卩、1 1 1 1设AE =九AC，1 1 1且均不为 0) 设n、n分别是平面AEF与平面BMC的法向量，1 2 11, 1,由 Jn1 - A1E=0，可得 Jn1 C1 =0，即 Jn1 - A1C1=0 解得：n * * In -A F = 0In pAD = 0In -AD = 01 1 2 1 2 1n - B M = 02 1n - Be=o21可得n v B A = 02 1n - Be=o21n -BA = 02 1n - Be=o21解得 n =( i， i，21)， 所以n =-n，n /n，所以平面A.EF平面B.MCo1 2 1 2注：如果求证的是两个平面垂直，可以求出两个平面的法向量，利用 n丄n o n n=o来证明。1 2 1 2利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象 在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键 就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能 用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正(长)方体、直棱柱 正棱锥等。例5如图4，在长方体ABCD - ABC D中，1111AD= AA =1，AB=2，点E在棱AB上移动。C 一1A(I)证明：DE 丄 AD ；11 1(II)当E为AB的中点时，求点E到“ 面图4 BAeD 的距离；1(Ill) AE等于何值时，二面角D -EC-D的大小为o 14分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线 垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AE = a，则A (1,0,1)，D (0,0,1)， 11E (1,a,0) ，A(1,0,0) ， C(0,2,0) 。(I) 证明：由 DA = (10,1)，DE = (1 a-1,-1)，1 1DA -DE = (10,1)-(1a-1,-1) = 1 -1 = 0，有DA 丄DE，于是DE 丄 AD。1 1 11 11(II) E 是 AB 的中点，得 E(1,1,0)， . DE = (11,-1)， AC = (-1,2,0)，1AD = (-1,0,1)。1设平面ACD的法向量为n = (x,y,1)，单位法向量为n，3 n AD 1 = 0 I(X, y ,1) - (-1,2,0) = 0 3 (x, y ,1) - (-1,0,1) = 0解得0x _ 1 。1y _2于是n = (1,2,1)，有n2；1+4+1(討申。设点E到平面acd的距离为d，则d = De2 1 2 (1丄-1)-(亍亍亍)所以点 E 到平面ACD 的距离为1。1(III )平面dec的法向量n _ (0,0,1)，设平面DEC的法向量11n _ (x, y,1)。2又EC _ (-1,2 a,0) ， DC _ (0,2, -1)。1由 I 役 EC _ 0，得 (x, y ,1) - (-1,2 - a ,0) _ 0n - DC _ 0| (x, y ,1) - (0, 2, 1) _ 021 ax + y (2 a) _ 0 32y-1_0解得x _ 1 才 干阜a 12，于疋n2 _ (1 ,1)。y _ 2设所求的二面角为0，则呜有n仃（小1）-（1 -2+1）逅，得（1a）2+1+1=2。解得cos 0 = cos =241 2 rr224J（1-2）2 + 4+1a = 2 弋3 ，所以，当AE=2朽时，二面角例6如图5，四棱锥p abcd中，D EC D的大小为上。14底面 ABCD 为矩形,例7 PD丄底面 ABCD, AD=PD,中点。zE, F分另ICD、PB的-EDy小。（I）求证：EF丄平面PAB；（II）设AB.-BC,求AC与平面AEF所成角的大分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理论证能力，本题也是一题两法。（I）证明：建立空间直角坐标系（如图5）,设 AD=PD=1，AB=2a（ a 0），则 E（a，00），C（2a，00），A（0丄0）, B（2a 丄0），P（0A1）,，F（ a,-”1 1得EF = （0,-,-）， PB = （2a,1,1）， AB = （2a,0,0）。2 2由 EF - AB = （0丄丄）-（2a,0,0） = 0，得 EF 丄 AB，即 EF 丄 AB， 22同理EF丄PB，又ABp|PB = B， 所以，EF丄平面PAB。（H）解：由 AB Sc，得 2a 二迈，即 a 壬得,0,0），F（，-，-），C（辽0,0）。有 AC = （ J2, -1,0）， AE =1 1,1,0），ef =（0,-,-）。设平面AEF的法向量为n = (x,y,l)由n-EF = 0I n - AE = 0 *(x, y,1) -(0,2,1) = 0j-二 (x, y,1)-(手,-1,0) = 01 1_n r 1 -y+-=0，解得 Iy=-1 逅 0x