第1章 随机变量及其概率1 解：(l)S =2,345,6,7;(2)S=2,3,4,-)；S=H,TH,TTH,TTTH,;(4)S=HH,HT,Tl,T2,T3,T4,T5,T6 o2,解：P(A u 5)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.625,P(AB)=P(S-A)B=P(B)-P(AB)=0.375,P(而)=1 P(A8)0.875,P(A u =P(A u B)(S-AB)=P(A uB)-P(A u B)(AB)=0.625-P(AB)=0.53,解：在100,1 0 1,，9 9 9这9 0 0个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8x9x9=6 4 8,所以所求得概率为 =0.729004,解：仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5x5x4=100个。(1)该数是奇数的可能个数为4x4x3=48个，所以出现奇数的概率为=0.48100(2)该数大于330的可能个数为2x4+5x4+5x4=4 8,所以该数大于3 3 0的概率为器二0485,解：所 求 概 率 为 等=*g+C：C；+C；(2)所求概率为2 0 14 9 56 71 6 5(3)所 求 概 率 为 舁=盖=去。y J J L U J6,解：根据题意，5M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有M种，某一特定的销售点得到乂心)张提货单的可能分法有种，所以某一特定的销售点得到-k )张提货单的概率为-1)*-OMn7,解：根据题意，将 3 只球随机地放入3 只盒子的总的放法有3!=6 种：123,132,213,231,312,321；没 有 1 只配对的放法有2种：312,2 3 k 至少有1 只配对的放法当然就有6-2=4种。所以(2)没有配对的概率为2=1；6 3(1)至少有1只配对的概率为1-工=2。3 38,解：由题意可得尸(4 5)=2(4)+2(3)-尸(4 8)=0.7,所以P(AI8)=P(AB)_ 0.1 _ 1P(B)-0.3 二P A)=P(AB)_ 0.1 _ 1P(A)O 5 5,P(ABI4 u B)=P(AB)_ 1P(AuB)-7产(Al A B)=P A(A8)P(AB)P(AB)P(AB)(2)设A,(i =l,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A/zA同，它的概率为(根据乘法公式)p(A 44况)=p(4)p(&I A)P(4 I A 4)P(况 I A,A24)6 7 5 4 X X -X =1 1 1 2 1 3 1 28 4 02 0 5 9 2=0.0 4 0 8 o9,解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A,“另一只也是红球”记为事件8则事件A的概率为2 2 2 15P(A)=2 x x I X=(先红后白，先白后红，先红后红)4 3 4 3 6所求概率为P(B I A)=产(AB)P(4)56_510,解：(1)根据题意可得尸(A)=尸(AB)+P(AB)=5%+4 5%=5 0%;P(B)=P(BA)+P(BN)=5%+1 0%=1 5%;(2)根据条件概率公式：P(8 IA)=%2 =0.1;尸(A)5 0%(3)P(B 1 A)=P(BA)_1 0%=0.2；P(X)一1-5 0%-(4)P(A 1 B)=P(AB)_4 5%91-1 5%-,P(B)1 7(5)P(AI8)=P(AB)P(B)5%1 5%_311,解：根据题意，这1 1个字母中共有2个g,2个i,3个n,3个e,1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/1 1；第二次必须从剩余的1 0张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/1 0；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为112 2 3 1 3 1 X X -X -X -X -=1 1 1 0 9 8 7 63 6 _ 13 3 2 6 4 0 -9 2 4 0A619 2 4 0;或者12解：(1)根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为1-2 0%-3 0%-1 0%=4 0%；(2)至少有一种症状的概率为1-4 0%=6 0%；(3)已知该人有症状B,表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%,所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为 =工。3 0%+1 0%41 3,解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件4。=1,2,3,4),“进入讯号被无误差地接受”记为事件8。则根据全概率公式有4p(B)=E P(A )P(B 1 4)=0.4 x 0.9 9 9 8 +0.3 x 0.9 9 9 9 +0.1 X 0.9 9 9 7 +0.2 x 0.9 9 9 6/=1=0.9 9 9 7 814,解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A,“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件5。根据全概率公式有P(A)=P(8)P(A I B)+P(B)P(A I B)=10%x 85%+90%x 4%=12.1%，所以，根据条件概率得到所要求的概率为P彳)=噂=尸 P 4 1 B)=1。(1-85%)=W.06%P(A)l-P(A)1-12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为1 7.0 6%.1 5,解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记 为 事 件“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件乂”2，恤。则根据全概率公式有3)=ZP(N jP(M IN,)=0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.04=0.025，i=l根据B a ye s公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为P(NJP(MP(M)0.6x0.010.025=0.24，P(M M)=-P-(-N-)-P-(-M-I-N-,)=-0-.-3-x-0-.-0-5-=O3.oO 9P(M)0.025P(N/M)=P(M M)=P(2V3)P(M l 3)_ 0.1x0.04 _-=-=0.10 oP(M)0.02516,解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件4,“一讯息是可信的”记为事件8。根据B a ye s公式，所要求的概率为P A)=P(AB)P(B)P(A I B)95%x lP(A)P(B)P(A B)+P(B)P(A B)95%xl+5%x0.1%=99.9947%1 7,解：根据题意，求出以下概率为尸（A）=P（B）=1,p（c）=!x +：x!=:；2 2 2 2 2 2P（A B）=-x-=-,P（B C）=P（C/4）=-x-=-,P（/lB C）=-x-=-o2 2 4 2 2 4 2 2 4所以有P（A B）=P（A）P（B）,P（A C）=P（A）P（C）,P（B C）=P（B）P。即表明A 和 B,B 和 C,C 和 A 两两独立。但是P（A B C）-P（A）P（B）P（C）所以A,B,C不是相互独立。1 8,解：设“A,B,C进球”分别记为事件N,（i =1,2,3）。（1）设恰有一人进球的概率为外，则Pi =P N|MM+P%N2M +P MMM=P（N）P）P（M）+P（M）P（M）P（M）+P（M）P（此）P（M）（由独立性）=0.5 x0.3 x0.4 +0.5 x0.7 x0.4 +0.5 x0.3 x0.6=0.2 9（2）设恰有二人进 球 的 概 率 为 则p2=P（NN 风）+P NN2Ni=P（M）P（M）P（M）+P（Nl）P（N2）P（M）+P（M）P（M）P（M）（由独立性）=0.5 x0.7 x0.4 +0.5 x0.7 x0.6 +0.5 x03 x0.6=0.4 4（3）设至少有一人进球的概率为P 3,则 3 =1 斤2M =1（月2）P（方3）=1-0.5 x03 x0.4 =0.9 4 o1 9,解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为0.4；第二次才检验出该型血的概率为0.6 x0.4=0.2 4；第三次才检验出该型血的概率为0.6 2 x0.4=0.14 4；第四次才检验出该型血的概率为0.6 3 x0.4=0.08 6 4；所以病人得救的概率为0.4+0.2 4+0.14 4+0.08 6 4=0.8 7 042 0,解：设“元件i能够正常工作”记为事件A,（i =l,2,3,4,5）。I那么系统的可靠性为 口（4 4）5 ）5 A4 A5）=P（A）+P（A3）+P（A4 A）一尸（A|A2A3）尸（A1A2A44）P（A34A）+P（4A2A3A4A5）第 20题 2=p（4）p（）+P（A3）+P（A4）P（A5）-P（A,）P（4）P（A3）-P（A,）P（A2）P（A,）P（A5）-P（A3）P（A4）p（A5）+p（A）p（A2）P（A3）P（A4）P（A5）=p 2+p +p 2 _ p 3 _ p 4 _ p 3 +p5=p+2p2 _ 2P3-p 4 +p52 1,（注：本 题 较 难，灵 活 应 用 全 概 率 公 式 和B a ye s公 式）解：设“一产品真含有杂质”记为事件A,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件6。则要求的概率为P(A 1 8),根据B a y e s公式可得P(A I B)=P(A)P(8 I A)_ _ _ _ _ _ _P(A)P(B I A)+P(A)P(B I A)又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)=0.4,而且 P(CI A)=0.8,P(C I A)=0.9 ,所以P(B I A)=C；X0.82X(1-0.8)=0.3 8 4 ；P(B I X)=C3 x(l-0.9)2 x0.9 =0.02 7故，P(A I B)=P(A)P(8 I A)尸(A)尸(B l A)+P(W)P(8 l1)0.4 x0.3 8 40.4 x0.3 8 4 +0.6 x0.02 70.15 3 60.16 9 8=0.9 04 6第2章随机变量及其分布1,解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前女-1个人都不是A型血，因此有尸y=A =0.4 x(l 0.4)*T=0.4X0.6T,(女=1,2,3,一)上式就是随机变量Y的分布律(这是一个几何分布)。2,解：X只能取值0,1,2。设以A,(i =l,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则p x=0 =产 4(42&)=。(44)544)=尸 A 4 +P A A 3 -P 4 4 4 =P(4)p(4)+尸(A)P(4)-P(A)P(4 )P(4)=(1-0.8)2+(1-0.8)2-(1-0.8)3 =0 0 72,类似有尸X =2 =P A(&4)=P(A&4)=8 8 3 =0.5 12，PX=1=1-P X =0 -PX=2=0.416,综上所述,可得分布律为X 0 1 2 1PX=k 0.072 0.512 0.416-3,解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15,O2),分布律为p(X=Z)=C：5XO-2*x 0.8 f Z=0,1,2,15。(1)P(X=3)=Cx0.23 x0.812=0.2501,(2)P(X 2 2)=1-P(X=1)-尸(X=0)=0.8329；(3)P(1WX5)=1 P(X=5)-尸(X=4)-P(X=3)尸(X=2)-P(X =1)-P(X =0)=0.06114,解：对于3/5G系统，当至少有3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布B(5,0.9),所以系统正常工作的概率为P(X =XO.9XO L =0.991445,解：根据题意，次品数X 服