资源预览内容
第1页 / 共11页
第2页 / 共11页
第3页 / 共11页
第4页 / 共11页
第5页 / 共11页
第6页 / 共11页
第7页 / 共11页
第8页 / 共11页
第9页 / 共11页
第10页 / 共11页
亲,该文档总共11页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
13.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验学习目标1. 会用Mathematica求解微分方程(组);2. 能用Mathematica求微分方程(组)的数值解;3. 会利用Mathematica进行拉氏变换与逆变换;4. 能进行幂级数和傅里叶级数的展开。一、 常微分方程(组) Mathematica能求常微分方程(组)的准确解,能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围,功能很强。但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面),输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外,Mathematica求数值解也很方便,且有利于作出解的图形。在本节中,使用Laplace变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的,过去敬而远之的方法如今可以轻而易举的实现了。 求准确解的函数调用格式如下: DSolveeqn,yx,x 求方程eqn的通解y(x),其中自变量是x。 DSolveeqn,yx0= =y0,yx,x 求满足初始条件y(x0)= y0的特解y(x)。 DSolveeqn1,eqn2,y1x,y2x,x 求方程组的通解。 DSolveequ1,y1x0= =y10,y1x,y2x,x 求方程组的特解。 说明:应当特别注意,方程及各项参数的表述方式很严格,容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。例1 解下列常微分方程(组): (1),(2), (3) , (4)的通解及满足初始条件y(0)=0,z(0)=1的特解。 解:In1:=DSolveyx= =2yx/(x+1)+(x+1)(5/2), yx,x Out1= In2:=DSolveyx= =(1+yx2)/(x+x3)yx),yx,x Out2=, In3:=DSolveyx= =zx,zx= = -yx, yx,zx,x Out3=yxC1Cosx+ C2Sinx, zxC2Cosx- C1Sinx In4:=DSolveyx= =zx,zx= = -yx,y0= =0,z0= =1, yx,zx,x Out4=yxSinx,zxCosx 提示:认真观察上例,可以从中学习输入格式,未知函数总带有自变量,等号用连续键入两个等号表示,这两点由于不习惯会出错!导数符号用键盘上的撇号,连续两撇表示二阶导数,这与习惯相同。自变量、未知量、初始值的表示法与普通变量相同。 说明:输出结果总是尽量用显式解表出,有时反而会使表达式变得复杂,这与教科书的习惯不同。当求显式解遇到问题时,会给出提示。通解中的任意常数用C1,C2,表示。例2 求解下列微分方程: (1),(2),(3)。解:In1:=DSolve+3yx +3yx + yx = =(x - 5)Exp-x, yx,x Out1= In2:=Simplify% Out2= In3:=DSolvex2 + yx2 = = 1,yx,x Out3=, In4:=DSolveSqrtyx = = x yx,yx,x Out4= 说明:由以上可以看出对方程的类型并无限制,但是输出的答案未必符合习惯,例如第一个方程的答案需要化简,有时即使化简后也未必与教材上的答案一致。例3 求微分方程的通解。 解:In1:=DSolveyx+2x yx= = x E(-x2),yx,x Out1=yx 这就是所给微分方程的通解。式中的C1是通解中的任意常数。 上述命令也可以输入为:DSolveDyx + 2x yx= =x E( - x2),yx,x。例4 求微分方程xy+ y - ex = 0在初始条件y|x=1 = 2e下的特解。 解:In1:=DSolvex*yx+yx-Ex= =0,y1= =2E,yx,x Out1= yx二、 常微分方程(组)的数值解 函数NDSolve用于求给定初值条件或边界条件的常微分方程(组)的近似解,其调用格式如下: NDSolveeqns,y1,y2,x,xmin,xmax 求常微分方程(组)的近似解。 其中微分方程和初值条件的表示法如同DSolve,未知函数仍有带自变量和不带自变量两种形式,通常使用后一种更方便。初值点x0可以取在区间xmin,xmax上的任何一点处,得到插值函数InterpolatingFunctiondomain,table类型的近似解,近似解的定义域domain一般为domain,table,也有可能缩小。例5 求常微分方程y= x2 + y2,满足初始条件y(0)= 0的数值解。解:In1:=s1=NDSolveyx= =x2+yx2,y0= =0, y,x,-2,2 Out1=yInterpolatingFunction-2.,2., In2:= y=y / . s11 Out2=InterpolatingFunction-2.,2., In3:=Plotyx,x,-2,2,AspectRatioAutomatic, PlotRange-1.5,1.5图13-43 微分方程的解曲线 Out3= -Graphics- 上例中包含许多值得学习的实用内容,其中第二项参数使用y而不是yx,比用yx好。如果求解区间改为x,-3,3,就会出现警告提示,实际得不到-3,3上的解。Out1表明返回的解放在一个表中,不便使用,实际的解就是插值函数: InterpolatingFunction-2.,2., In2的结果是用y表示解函数的名字,因此In3顺利画出解曲线如图13-43所示。例6 求常微分方程组: 满足初始条件x(0)=0,y(0)=1的数值解。 解:In1:=s1=NDSolvext= = yt -(xt3/3 - xt), yt= = - xt,x0= =0,y0= =1, x,y,t,-15,15 Out1=xInterpolatingFunction-15.,15., yInterpolatingFunction-15.,15., In2:= x=x / . s11,1 y=y / . s11,2 Out2=InterpolatingFunction-15.,15., Out3=InterpolatingFunction-15.,15., In4:=ParametricPlotxt,yt,t,-15,15, AspectRatioAutomatic图13-44 解的相轨线 Out3= -Graphics- 说明:上例是求一个著名方程组的近似解,其中In2也可以改用一个赋值式x,y=x,y / . Flattens1,一次得到两个函数。通过求数值解容易得到它的相图,In4绘制了解的相轨线如图13-44所示,图中表明原点是奇点,极限环的形状也已经得到。 为了应付复杂的情况,需要设置可选参数: WorkingPrecision 参见数值积分部分的介绍。 AccuracyGoal 计算结果的绝对误差。 PrecisionGoal 计算结果的相对误差。 MaxSteps 最大步数。 StartingStepSize 初始步长。 以上可选参数的默认值都为Automatic,其中AccuracyGoal和PrecisionGoal的默认值比WorkingPrecision小10,当解趋于0时应将AccuracyGoal取成Infinity。对于常微分方程,最大步长默认值为1000。这个函数也可以解偏微分方程,最大步长默认值为200。例7 解下列微分方程(组):(1),满足初始条件y(0)=1的特解;(2),满足初始条件x(0)=z(0)=0,y(0)=1的特解。 解:In1:=NDSolveyx= =I/4yx,y0= =1,y,x,1, AccuracyGoal20,PrecisionGoal20,WorkingPrecision25 Out1=yInterpolatingFunction 0,1.000000000000000000000000000, In2:=y1 / . % Out2=0.968912424710644784118519 + 0.2474039592545229296234109 In3:=NDSolvext= = -3(xt -yt), yt = = -xt zt+36.5xt -yt, z
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号