名校名师推荐第1节绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a+b|a|+|b|(a,bR)；|a-b|c；|x-c|+|x-b|a.I基国谬断回归教材，夯实基础知识梳理1 .绝对值不等式的解法(1)含绝对值白不等式|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|a（一巴a）U（a,+0）（一0）U（0,十00）R(2)|ax+b|0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c?ax+bc或ax+bwc；(3)|xa|+|xb|c(c0)和|xa|+1x-b|0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想2 .含有绝对值的不等式的性质如果a,b是实数，则|a+b|c的解集为R,则c0.()(2)不等式|x1|十|x+2|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()(4)X|a|-1b|b时等号成立.()X|a-b|Ia|+1b|当且仅当ab0时等号成立.()答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)V2.不等式|x1|x5|2的解集是()A.(巴4)B.(8,1)C.(1,4)D.(1,5)解析当xl时，原不等式可化为1x(5x)2,42,不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x-1-(5-x)2,1.x4,1-1x5时，原不等式可化为x-1-(x-5)|x+1|十|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是.解析由于|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,.|x+1|+|x2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|3,则a3或aw3.答案(一8,-3U3,+oo)4 .若不等式|kx4|W2的解集为x|1x3,则实数k=.解析|kx-4|2,.2kx-42,2kx6.不等式的解集为x|1x0,|x1|a,|y-2|a,求证：|2x+y-4|a.33证明因为|x1|a,|y2|a,33所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y2)|W2|x-1|+|y-2|1的解集. f(x) = x-4, x - 1,3x-2, 1x2故y=f (x)的图象如图所示(2)由f(x)的解析式及图象知，当f(x)=1时，可得x=1或x=3;1八当f(x)=1时，可得x=或x=5.311一故f(x)1的解集为x|1x3;f(x)-1的解集为*x|x5.111所以|f(x)|1的解集为wx3，或1x5.【例12(2017全国I卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1,求a的取值范围.解(1)当a=1时，f(x)=x2+x+4,x2-x+|x+1|+|x1|-41时，f(x)g(x)?x2+x-40,解之得1xwW2-1.当一1wxg(x)?(x-2)(x+1)0则一1wx1.当 xg(x) ?x2-3x-40,解得1W x4,1又xg(x)的解集为反-1x2在1,1上恒成立.则x2ax2W0在1,1上恒成立.则只需12-a - 1-20, (- 1) 2-a ( 1)-20的解集;(2)设g(x)=|x+7|+3m若关于x的不等式f(x)0,即|x2|4x2.当x2时，不等式可化为x2+x-60,解得x2;当x0,解得x2或x1.(2)依题意，|x2|x-2|+|x+7|在xCR上有解，又|x2|+|x+7|刁(x-2)-(x+7)|=9,所以3m9,解得m3.故实数m的取值范围是(3,+8).考点二绝对值不等式性质的应用【例21】设不等式2|x1|x+2|0的解集为Ma,bCM(1)证明:113a+ 6b1,4(2)比较|14ab|与2|a-b|的大小，并说明理由p,x-2,(1)证明设f(x)=|x1|x+2|=$2x1,-2x1.,一11由一2一2x10,解得一万。、.1111因此集合M=-2，2J,贝U|a|2，|b|.所以113a+ 6b1111113| a|+6| b|3x2+6x2=(2)解由(1)得a24，b20,所以|14ab|4|ab|,故|1-4ab|2|a-b|.【例22】对于任意的实数a(aw0)和b,不等式|a+b|+|ab|M-|a|恒成立，记实数M的最大值是m(1)求m的值；(2)(一题多解)解不等式|x1|+|x2|wm解(1)不等式|a+b|+|ab|M-|a|恒成立，|a+b|+|ab|即M771对于任意的实数a(aw0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的|a|最小值.因为|a+b|+|a-b|(a+b)+(ab)|=2|a|,当且仅当(ab)(a+b)0时等号成立,即| a| | b| 时,|a+b|+|ab|#、G拉2成立,|a|也就是a+b|+Iab|的最小值是2所以2.Ia|因此m=2.(2)不等式|x-1|+|x-2|mIP|x-1|+|x-2|2.法一由于|x1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和；15而数轴上5和5对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2,故|x-1|+|x-2|的解集为法二当x-,即-X2时，不等式为(x1)+(x2)&2,55解得x,即2x.综上可知，不等式的解集是|X|规律方法1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|十|b|，ab|，a|b|；(3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用【训练2对于任意实数a,b,已知|ab|w1,|2a1|w1,且恒有|4a-3b+2|nrj求实数m的取值范围.解因为|ab|01,|2a-1|1,I11所以|3a3b|3,|a-所以|4a-3b+2|=|(3a-3b)+%)十|1515|3a-3b|+|a-|+-|4a-3b+2|max=6,m的取值范围是6,+oo).考点三绝对值不等式的综合应用【例3】(2017全国ID卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2x+m的解集非空，求m的取值范围3, xw1,解(1)f(x)=|x+1|x2|=42x1,-1x2.当xw1时，f(x)=31无解；当1x1,解得x1,则1wx2时，f(x)=3l恒成立，x2.综上知f(x)1的解集为x|x1.(2)不等式f(x)x2x+m等价于f(x)-x2+xm得mIx+1|一|x2|x2+x有解，又|x+1|x2|x2+xwIx|+1+|x|2x2+|x|当且仅当x=3时，|x+1|x2|x2+x=4.故实数m的取值范围是5规律方法1.第(1)问分段讨论，求得符合题意的x取值范围，最后取并集.2 .(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决.(2)本题分离参数E利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程.【训练3】(2016全国出卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时，求不等式f(x)3,求实数a的取值范围.解(1)当a=2时，f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得一1WxW3.因此f(x)W6的解集为x|-1x|2x-a+1-2x|+a=|1a|+a,当x=q时等号成立，所以当xCR时，f(x)+