2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（1）已知极限 limxarctanxc ，其中 c, k 为常数，且 c0，则（）xkx 011（A） k2, c（ B） k2,c22C）k3,c1（ ）k3,c13D3（2）曲面 x2cos( xy)yzx0 在点 (0,1,1) 处的切平面方程为（）（A） x y z2（B） x y z 2（C） x 2 y z3（D） x y z 0（3）设 f (x)1 ， bn1b n sin n x ，则 S(9 )x2f ( x)sin nxdx( n1,2,.) ，令 S(x)20n 14（）（B） 1（C） 1（A） 3（ ）3444D4（4）设 l1 : x2y21,l2 : x2y 22, l3 : x22 y22, l 4 : 2 x2y 22, 为四条逆时针的平面曲线，记 I i( yy3)dx(2 xx3)dy(i1,2,3,4)，则= ()li63（A）I 1（ ）（ ）I3（ ）I 3BI 2CD（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ABC,则B可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价A 的列向量组等价B 的行向量组等价B 的列向量组等价1a1200（6）矩阵 aba与 0b0相似的充分必要条件为1a1000（A） a 0,b2（B） a0, b为任意常数（C） a2, b0（D） a2, b为任意常数（7）设X1， X 2， X 3 是随机变量，且X1 N(0,1) ， X2 N( 0,2 2）， X3 N (5,3 2 ) ,Pj P2X j2( j 1,2,3), 则（）（A）P1P2P3（ ）P1P3B P2（C）P3P1P2（ ）P3P2D P1（8）设随机变量给定a( 0 a常 数 c 满 足P Xc a, 则X t ( n) ,Y F (1,n )0. 5),PY c2 （）（A）（B） 1（C） 2（D）1 2二、填空题： 9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 .(9) 设函数 f (x) 由方程 y xex(1y) 确定，则 lim n( f (1)1)nn(10) 已知 y1 e3 xxe2x ， y2exxe2 x ， y3xe2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，该方程的通解为 y(11) 设 x sint y t sin t(12)ln xdx1(1x)2（ t 为参数），则 d 2 ycostdx2t4（ 13 ）设 A(a ij ) 是三阶非零矩阵，| A | 为A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式，若aijAij0(i, j1,2,3), 则 A_（ 14 ） 设 随 机 变 量Y 服 从 参 数 为1的 指 数 分 布 , a 为 常 数 且 大 于 零 ， 则P Ya 1 | Ya _。三、解答题：1523 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题纸 指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（15）（本题满分 10 分）1f ( x)x ln( t1)计算dx, 其中 f ( x)1dt0xt（16）（本题满分 10 分）设数列 a 满足条件：a03, a11,an 2 n( n 1)an0(n 2),S(x) 是幂级数n的和函数，nan xn 0（I ）证明： S ( x)S(x)0 ,（II ）求 S( x) 的表达式 .（17）（本题满分 10 分）求函数 f ( x, y)( yx3)ex y 的极值 .3（18）（本题满分 10 分）设奇函数 f ( x)在 -1,1上具有 2 阶导数，且 f (1)1, 证明：（I ）存在(0,1), 使得 f ()1（II ）存在1,1 ，使得f( ) f ( ) 1（19）（本题满分 10 分）设直线 L 过 A(1,0,0), B(0,1,1) 两点，将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面, 与平面 z 0, z2所围成的立体为，（ I ）求曲面 的方程（ II ） 求 的形心坐标 .（ 20）（本题满分 11 分）设 A1a , B01 ，当 a, b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC CAB ，并求所有矩阵 C 。101b（21）（本题满分11 分）a1b1设二次型 f x1, x2 , x32 a1x1 a2 x222a2 ,b2 。a3 x3b1 x1 b2 x2 b3 x3 ，记a3b3（I ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2TT；（II）若 , 正交且均为单位向量， 证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型2 y12y22 。（22）（本题满分11 分）设随机变量的概率密度为f ( x)（I ）求 Y 的分布函数（II ）求概率 P X Y （23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为fx1x20 x 3 ，令随机变量 Y2x14x1x 2 ,0其他1x22x3e x ,x 0,其中为未知参数且大于零，X1, X2， XN 为0,其它 .来自总体 X 的简单随机样本 .（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量 .2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .（1）【答案】 Dxarctanx【解析】 limxkx 0（2）【答案】 A【解析】设 F (x, y, z)x2x (x 1 x3o( x3 )1 x31lim3lim 3c, k