第四章习题详解1 下列数列是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：1) ；2) ；3) ；4) ；5) 。2 证明：3 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：1) ；2) ；3) ；4) 。4 下列说法是否正确？为什么？1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；3) 每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。5 幂级数能否在收敛而在发散？6 求下列幂级数的收敛半径：1) （为正整数）；2) ；3) ；4) ；5) ；6) 。7 如果的收敛半径为，证明的收敛半径。提示：8 证明：如果存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径；。9 设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为。10 如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。11 把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径：1) ；2) ；3) ；4) ；5) ；6) ；7) ；8) 。12 求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：1) ，；2) ，；3) ，；4) ，；5) ；6) ；。13 为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？14 证明在以的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为，。提示：在公式中，取为，在此圆上设积分变量。然后证明的积分的虚部等于零。15 下列结论是否正确？用长除法得因为 所以 16 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：1) ，；2) ，；3) ，；4) ，；5) ，在以为中心的圆环域内；6) ，在的去心邻域内；7) ，。17 函数能否在圆环域展开成洛朗级数？为什么？18 如果为满足关系的实数，证明提示：对展开成洛朗级数，并在展开式的结果中置，再令两边的实部与实部相等，虚部与虚部相等。19 如果为正向圆周，求积分的值。设为：1) ；2) ；3) ；4) 。20 试求积分的值，其中为单位圆内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。