例说解题教学中数学模式的应用:baidu解题扫一扫 江苏江浦高级中学 211800 摘要：我们在平时的解题教学中，常常会碰到学生拿到题目后下笔很慢的现象. 究其原因，关键是对部分关键的解题模式的特点及适合范围没有把握好. 针对上述情况，本文力图在解题教学的过程中，从合理结构模式、灵活应用模式和善于扩充模式三个方面来探讨数学模式在解题教学过程中的应用.关键词：解题教学；数学模式我们知道，把现实原型抽象，能够成为数学模型，而把数学模型再抽象，便成为了数学模式. 实际上，全部的概念、公式、定理、法则等等全部可看作是数学模式. 所以，从某种意义上来说，对数学的研究，实质上就是对这些模式的研究. 下面，就数学模式在解题教学中的应用进行部分探讨.合理结构模式，铺设解题桥梁教学的首要任务是把实际问题抽象成数学问题. 怎样抽象也就是怎样结构模式，其关键在于结构的合理性.例1 图1，若l表示海岸，有一军舰要立即地从位置P航行到位置Q，而且途中还要在l的某处R取军火，试确定建造军火库的最好位置R.lRPRPQ图1不难知道，此题可抽象成最短线路的数学模型问题. 设P，Q是直线l同侧的两定点，那么就成为在l上求一点R，使得PR+RQ最短.解析 可按下面两步骤进行操作：作出点P有关l的对称点P；连结PQ交l于R，则R为所求. 证实略.点评 这里，我们还可推出，R是使PR及QR和l交成等角的点. 此推论又形成一个有用的模式.上例说明，对于一些实际问题，能够经过结构合理的模式作为桥梁来处理. 显然，对于同类型的问题，可采取一样的模式；对于一些纯数学题，也一样能够结构对应的模型.灵活利用模式，寻求解题钥匙数学问题提出后就是寻求解答了，怎样寻求解答？能否找到一个万能的方法？其实，万能方法是不存在的，不过我们能够将形形色色的问题归纳分类，使问题规范化、模式化. 通常来说，模式积累越多，把数学问题转化为模式也越轻易，于是解题钥匙也越多. 通常地，这类模式经过模拟是不难掌握的，但主要的是在利用模式时要思绪开阔，注意灵活多样.1. 利用成型的数学模式一些成型的模式可作出多个形式的变换，且适合一式多用，比如集合论中的文氏图.例2 班里有36名学生，其中有10名优异生，15名运动员，14名歌手，而且有4名既是优异生又是运动员，有5名是运动员兼歌手，有2名既是优异生又是歌手，有1名是优异生而且是歌手和运动员. 问班里的学生中，有多少名既不是优异生，又不是运动员，也不是歌手？解析这类问题，只须把落入各区域的元素的数目填入文氏图即可，利用此图，还能回复一系列其它问题，比如有多少学生仅仅是优异生；有多少学生是优异生或运动员；有多少学生只是优异生、运动员二者之一；此题的解法及答案略.UABC图2点评用文氏图还能够观察出著名的狄摩根定理：CU=，CU，这也是一个主要的模式.2. 利用笛卡尔模式笛卡尔曾提出过一个处理通常问题的模式：“把任何问题化为数学问题；把任何数学问题化为代数问题；把任何代数问题化为方程进行求解.”我们称它为笛卡尔模式，并经常利用此模式处理参数的改变范围、复变量的活动区域、几何作图、待定系数、部分分式、曲线方程等大量数学问题.例3 图3，圆中三条弦两两相交，若PA=QE=RD，PC=QB=RF. 求证：PQR为等边三角形.CAPFEQBRD图3证实 此题若用推理证实，则比较困难；若转化为代数问题来处理，则很简便.设PQ=x，PR=y，QR=z，不妨设PA=a，PC=b. 由相交弦定理得ab。ab。ab， 即ax=by。az=bx。ay=bz。因此ab，又因为x+y+z0，因此a=b，从而x=y=z. 故PQR为等边三角形.点评 从本例可见，利用笛卡尔模式的关键是怎样巧妙地列出方程.例4 已知f+2f=sin2x，且x，试问当x为何值时，f取得最大值；当x为何值时，f取得最小值.解析 此题为一函数方程，解答的关键在于怎样结构一个新的方程模式，即再结构一个有关“f”的方程，使它和题目所给方程联立后得一方程组，从而来确定“f”.因为tanx，sin2x全部是奇函数 ，当x时，自变量x的位置含有互反性. 由此，可结构一个新方程：ftan+2ftan=sin，它和原方程联立得f+2ftan=-sin2。2ff=sin2x。即f+2f=sin2x。2ff=sin2x。解得，f=sin2x=, x，因此f=.故易求适当x=1时，fmax=1；当x=1时，fmin=1.善于类比和联想，巧用熟悉的模式当然，笛卡尔模式也不是万能的，有些问题需要从多方位思索，从类比部分熟悉的模式中取得处理.例5 在1到100这100个自然数中，找出10个自然数，使它们的倒数之和为1.解析 本题包括的是10个自然数的倒数之和，它是否和数列求和相关呢？于是联想到了“拆项求和”的模式：=+=1.对于上式，令n=9，稍加变形，即+=1，则2，6，12，20，30。42，56，72，90，10即为所求的10个数.善于扩充模式，举一反三一个理想的数学模式不但在于它能正确地刻画实体对象，而且还能由它深入延伸出很多新的模式.例6 求和：12+22+n2.解析 因为3n3=3n2+3n+1，因此有：2313=312+31+1。3323=322+32+1。3n3=3n2+3n+1.把上式相加，得31=3+3+n。解得，12+22+n2=n.点评 在此问题中，我们借助3的展开式求出了自然数的二阶方幂和S2. 将这种模式扩充，可知要求自然数的三阶方幂和S3，只需将4展开. 以这类推，利用这种模式可求得这类数列的前n项和. 假如已经定了S0，S1，Sk-1，则Sk由下式确定：Sk=k+11CSk-1CSk-2S0. 由这个表示式，利用每次全部返回或递归大批前面项的方法，就能逐一地、递归地求出各项，这就是主要的递归模式.由此可见，碰到问题时首先应经过观察并联想有没有现成模式，能否转化和利用熟悉的模式；其次，假如模式不全，则思索怎样经过结构辅助模式来补全. 通常结构的辅助模式能够是数、式、方程、函数、图形、算法程序等. 详细怎样结构，结构哪一个，并没有一个固定格式可依，只能针对问题的结构特点，多进行类比、联想. 灵活地迁移知识，改变分析角度，才能取得合理的模式. 在利用数学模式去处理问题时，还要先了解模式，搞清模式的功效和程度，这就需要分析模式. 有了分析模式的能力，就会转移成利用模式的能力.当然，结构模式解题的方法也有不足.假如老师片面强调解题的程式化、模式化，学生片面地、机械地模拟，那将会造成学生在解题时思想僵化. 所以，老师还应激励学生不限于模拟，而要坚持独立思索，勇于探索.本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文