专题能力训练8三角函数的图象与性质专题能力训练第22页一、能力突破训练1.为了得到函数y=sin2x-3的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向左平行移动6个单位长度D.向右平行移动6个单位长度答案:D解析:由题意,为得到函数y=sin2x-3=sin2x-6,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动6个单位长度,故选D.2.已知函数y=sin x(0)在区间0,1上至少出现2次最大值,则的最小值为()A.52B.54C.D.32答案:A解析:要使y=sinx(0)在区间0,1上至少出现2次最大值,则在区间0,1上至少包含54个周期,故只需要5421,故52.3.(2019全国,理9)下列函数中,以2为周期且在区间4,2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案:A解析:y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为2,且在区间4,2内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为2,但在区间4,2内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.4.若f(x)=cos x-sin x在区间-a,a上是减函数,则a的最大值是()A.4B.2C.34D.答案:A解析:f(x)=2cosx+4,图象如图所示,要使f(x)在区间-a,a上为减函数,a的最大为4.5.已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图象关于直线x=3对称,若它的最小正周期为,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.3,1B.12,0C.512,0D.-12,0答案:B解析:由题意知T=,则=2.由函数图象关于直线x=3对称,得23+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.答案:512解析:f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos2x+6,将f(x)的图象向左平移n个单位长度对应的函数解析式为f(x)=2cos2(x+n)+6=2cos2x+2n+6,要使它为偶函数,则需要2n+6=k(kZ),所以n=k212(kZ).因为n0,所以当k=1时,n有最小值512.8.函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图象如图所示,则f(x)=.答案:2sin8x+4解析:由题意得A=2,函数的周期为T=16.T=2,=8,此时f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin82+=sin4+=1,则4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|0,0)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.3C.-3D.-2答案:A解析:设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以T22+42=5,解得T=6.所以=2T=3.又图象过点(0,1),代入得2sin=1,所以=2k+6或=2k+56(kZ).又0,所以=6或=56.所以f(x)=2sin3x+6或f(x)=2sin3x+56.对于函数f(x)=2sin3x+6,当x略微大于0时,有f(x)2sin6=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin3x+56.故f(-1)=2sin-3+56=2.13.函数y=11-x的图象与函数y=2sin x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8答案:D解析:函数y1=11-x,y2=2sinx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当1x4时,y10,而函数y2在区间(1,4)内出现1.5个周期的图象,在区间1,32和52,72内是减函数;在区间32,52和72,4内是增函数.所以函数y1在区间(1,4)内函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在区间(-2,1)内函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.14.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:f(x)=sin x+cos x;f(x)=2(sin x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)答案:解析:首先化简题中的四个解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sinx+4,f(x)=sinx,f(x)=2sinx+2.可知f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理f(x)=2sinx+4的图象与f(x)=2sinx+4的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而f(x)=2sinx+2的图象可以向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度即可得到f(x)=2sinx+4的图象,所以为“互为生成”函数.15.如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan =7,OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n=.答案:3解析:|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan=7,0,得00,cos0,tan=sincos,sin=7cos,又sin2+cos2=1,得sin=7210,cos=210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cos+4=-35,得方程组m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.16.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间0,2)内有两个不同的解,.求实数m的取值范围;证明:cos(-)=2m25-1.(1)解将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移2个单位长度后得到y=2cosx-2的图象,故f(x)=2sinx.从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=k+2(kZ).(2)解f(x)+g(x)=2sinx+cosx=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依题意,sin(x+)=m5在0,2)内有两个不同的解,当且仅当m51,故m的取值范围是(-5,5).证法一因为,是方程5sin(x+)=m在区间0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即-=-2(+);当-5m1时,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.证法二因为,是方程5sin(x+)=m在区间0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即+