习题2-4 1. 求由下列方程所拟定的隐函数y的导数: (1) y2-2x y+9=0; (2) x3+y3-3axy=0; (3) xy=ex+y ; (4) y=1-xey. 解 (1)方程两边求导数得 2y y-2y-2x y =0 , 于是 (y-x)y=y, . (2)方程两边求导数得 3x2+3y2y-2ay-3axy=0, 于是 (y2-ax)y=ay-x2 , . (3)方程两边求导数得 y +xy=e x+y(1+y), 于是 (x-ex+y)y=ex+y-y, . (4)方程两边求导数得 y=-e y-xeyy, 于是 (1+xe y)y=-e y, . 2. 求曲线在点处的切线方程和法线方程. 解 方程两边求导数得 , 于是 , 在点处y=-1. 所求切线方程为 , 即. 所求法线方程为 , 即x-y=0. 3. 求由下列方程所拟定的隐函数y的二阶导数: (1) x2-y2=1; (2) b2x2+a2y2=a2b2; (3) y=tan(x+y); (4) y=1+xey. 解 (1)方程两边求导数得 2x-2yy=0, y=, . (2)方程两边求导数得 2b2x+2a2yy=0, , . (3)方程两边求导数得 y=sec2(x+y)(1+y), , . (4)方程两边求导数得 y=e y+xe yy, , . 4. 用对数求导法求下列函数的导数: (1) ; (2); (3); (4). 解 (1)两边取对数得 ln y=xln|x|-xln|1+x|，两边求导得 , 于是 . (2)两边取对数得 , 两边求导得 , 于是 . (3)两边取对数得 , 两边求导得 , 于是 (4)两边取对数得 , 两边求导得 , 于是 . 5. 求下列参数方程所拟定的函数的导数: (1) ; (2) . 解 (1). (2). 6. 已知求当时的值. 解 , 当时, . 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: (1) , 在处; (2) , 在t=2处. 解 (1). 当时, , , ,所求切线方程为 , 即; 所求法线方程为 , 即. (2), , . 当t=2时, , , , 所求切线方程为 , 即4x+3y-12a=0; 所求法线方程为 , 即3x-4y+6a=0. 8. 求下列参数方程所拟定的函数的二阶导数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) , 设f (t)存在且不为零. 解 (1) , . (2) , . (3) , . (4) , . 9. 求下列参数方程所拟定的函数的三阶导数: (1); (2). 解(1), , . (2), , . 10. 落在安静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s, 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？ 解 设波的半径为r, 相应圆面积为S, 则S=pr2, 两边同步对t求导得 S t=2prr. 当t=2时, r=62=12, rt=6, 故S t|t=2=2126p=144p (米2/秒). 11. 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中, 其速率为4m2/min . 当水深为5m时, 其表面上升的速度为多少？ 解 水深为h时, 水面半径为, 水面面积为, 水的体积为, , . 已知h=5(m)，(m3/min), 因此 (m/min). 12. 溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入始终径为10cm的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm时, 其表面下降的速率为1cm/min. 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？ 解 设在t时刻漏斗在的水深为y, 圆柱形筒中水深为h. 于是有 . 由, 得, 代入上式得 , 即 . 两边对t求导得 . 当y=12时, yt=-1代入上式得 (cm/min).