新人教九年级数学与圆有关的角 与圆有关的角圆心角、圆周角 课前回顾 1、垂径定理的概念及其推论： 2、回顾练习：如图：AB是的直径，CD是弦，过A、B两点作CD的垂线，垂足分别为E、F，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC的长。 BOAECDF知识点一、圆心角 1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 4、圆心角定理推论： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。 例题讲练 例题一、概念理解 1_的_叫做圆心角 2如图，若长为O周长的m，则AOB=_ n3在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _ 4在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也_反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_ 5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。 例题二、基础应用 6已知：如图，A、B、C、D在O上，AB=CD 求证：AOC=DOB 7已知：如图，P是AOB的角平分线OC上的一点，P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论 8如图，AB为O的直径，C，D为O上的两点，且C为求ACO的度数 的中点，若BAD=20，例题三：综合应用 9O中，M为AAB2AM CAB2AM 的中点，则下列结论正确的是( ) BAB=2AM DAB与2AM的大小不能确定 与之间的关10如图，O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想系，并证明你的猜想 11如图，O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CFCD交AB于F，DECD交AB于E (1)求证：AE=BF； (2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由 知识点二、圆周角 1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、圆周角定理的推论： 推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90；90的圆周角所对的弦是直径 4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补 推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角 例题讲练 一、圆心角和圆周角之间的换算 例1、已知：如图，AB为O的直径，弦CD交AB于P，且APD60，COB30，C求ABD的度数 OBPAD例2、如图，ABC中，ABAC，A80，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E求E所对圆心角的度数 ADD、EB、ADO BE 仿解：如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点，A是弧BF上的中点，设FBC, ACB. F当50时，求的度数。 A猜想与之间的关系，并给与证明。 CBO 2、 圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题 圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角 圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角 C例3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，P28， AQC92，求ABC的度数 ABQPDCO3、与圆周角有关的证明 例4、如图，ABC内接于O，AEBC于D，交O于E，AF为O的直径 求证：BAFCAE AOBF4、与圆的内接四边形有关的证明问题 DECAC上任意一点，AG、DC例5、如图，已知：AB是O的直径，弦CDAB于E，G是的延长线交于F求证：FGCAGD AGODEBCF随堂练习 一、基础知识填空 1_在圆上，并且角的两边都_的角叫做圆周角 2在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_圆心角的_ 3在同圆或等圆中，_所对的圆周角_ 4_所对的圆周角是直角90的圆周角_是直径 5如图，若五边形ABCDE是O的内接正五边形，则BOC=_，ABE=_，ADC=_，ABC=_ 5题图 6如图，若六边形ABCDEF是O的内接正六边形，则AED=_，FAE=_，DAB=_，EFA=_ 6题图 7如图，ABC是O的内接正三角形，若P是上一点，则BMC=_ 上一点，则BPC=_；若M是7题图 二、基础运用 8在O中，若圆心角AOB=100，C是上一点，则ACB等于( ) A80 B100 C130 D140 9在圆中，弦AB，CD相交于E若ADC=46，BCD=33，则DEB等于( ) A13 B79 C38.5 D101 10如图，AC是O的直径，弦ABCD，若BAC=32，则AOD等于( ) 10题图 A64 B48 C32 D76 11如图，弦AB，CD相交于E点，若BAC=27，BEC=64，则AOD等于( ) A37 B74 C54 D64 12如图，四边形ABCD内接于O，若BOD=138，则它的一个外角DCE等于( A69 B42 C48 D38 13如图，ABC内接于O，A=50，ABC=60，BD是O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则AEB等于( ) A70 B90 C110 D120 三、综合、运用、诊断 14已知：如图，ABC内接于O，BC=12cm，A=60求O的直径 ) 15已知：如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，ACD=30，AE=2cm求DB长 16已知：如图，ABC内接于圆，ADBC于D，弦BHAC于E，交AD于F 求证：FE=EH 17已知：如图，O的直径AE=10cm，B=EAC求AC的长 四、拓广、探究、思考 18已知：如图，ABC内接于O，AM平交O于点M，ADBC于D 求证：MAO=MAD 19已知：如图，AB是O的直径，CD为弦，且CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交M 求证：AMD=FMC 分BACABO于