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离散型随机变量及其分布列 ()课前预习案一、【考纲要求】在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性。二、【知识梳理 构建网络】1随机变量的概念:如果随机试验的结果可以用一个变量X表示,并且X是随着试验的结果 的,那么这样的变量X叫随机变量,随机变量常用 字母X,Y,表示;如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X为 2离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X的可能取值为X取得每一个值的概率为则称表 XP 为离散型随机变量X的 ,或称为离散型随机变量X的分布列.离散型随机变量X的两个性质是: 3、期望:设一个离散型随机变量X所有可能取的值是,这些值对应的概率是,则_,叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)。(1)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的_ _4、方差:设一个离散型随机变量X所有可能取的值是,这些值对应的概率是,则D(X)= 叫做这个离散型随机变量X的方差。D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的 (1)离散性随机变量的方差(包括标准差)反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度),它反映了X取值的稳定性。X10Ppq5二点分布(1)如果随机变量X的分布列 其中 ,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布。(2)若X服从二点分布,则_ _;D(X)= (q=1-p)5超几何分布(1)一般的,设有总数为N件的两类物品,其中一类有n件,从所有的物品中任取M件(MN),这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量,它取值为m时的概率为P(x=m)= (为n和M中较小的一个),我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X服从参数为N,M,n的超几何分布。(2)离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,则_;6、二项分布:(1)在次独立重复试验中,事件A恰好发生次的概率为其中于是得到的分布列。X01knP 称这样的离散型随机变量X服从参数为n, p ,记作 .(2)离散型随机变量时,_;D(X)= (q=1-p) ()课堂探究案三、【课内探究 精讲点拨】题型一:离散型随机变量分布列:例1、(1)一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用表示取出球的最大号码,求的分布列。(2)从一批有10个合格品和3个次品的产品中,一件一件的抽取产品,设各个产品被抽取到的可能性相同。若每次取出的产品都放回,求取到合格品为止时所需抽取次数的分布列。X-101Pabc变式训练:随机变量X的分布列如右表:其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)= .题型二:超几何分布:例2. 从含有3件次品的10件产品中,任取3件,求 (1)取到的次品数X的分布列及数学期望;(2)至少取到1件次品的概率。变式训练:(2001年天津)一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学的期望是_(用数字作答)题型三:二项分布:例3、某射手每次射击击中目标的概率都是0.8,现连续射击3次,求击中目标次数X的概率分布列及数学期望。变式训练:1.(07山东)位于坐标原点的一个质点按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点移动五次后位于点的概率是( )ABCD2.设随机变量X服从二项分布,即,且,则n= _ 四、【当堂检测 诊断反馈】(C级) 1某座大桥一天经过的车辆数为;某无线寻呼台一天内收到的寻呼的次数为;一天之内的温度为;一射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的是离散型随机变量的是 ( ) A. B. C. D. (B级)2. 某人对一目标进行射击,每次命中率都是0.25,若使至少命中1次的概率不小于0.75,则至少应射击 ( )A.4次 B.5次 C. 6次 D. 8次(B级)3.(08福建卷5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.B. C. D. (C级)4.从4名男生和2名女生中任选3人参加比赛,设被选中女生的人数为随机变量,则的概率是 (B级)5.一袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码,则X的分布列为 。(C级)6.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,令随机变量,则的方差D=( )Am B2m(1m) Cm(m1) Dm(1m) 离散型随机变量及其分布列习题课 C级题组1.设随机变量的分布列,则a= ( ) A. B. C. D. 2. 把x,y两种遗传基因冷冻保存,若x有30单位,y有20单位,且保持过程中有2个单位的基因失效,则x,y两种基因各失效1个单位的概率是 ( )A. B. C. D. 3.袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时总共取了次球,则等于 (用式子表示)4.某人从家乘交通车到单位,途中有3个交通岗亭,假设在各个交通岗亭遇红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯次数的数学期望为( )ABCD B级题组5.(08安徽卷19)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望,标准差为。()求n,p的值并写出的分布列;()若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率6.(07山东)设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个计)()求方程有实根的概率;()求的分布列和数学期望;()求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程有实根的概率7.(2009全国卷理) 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局。(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;(II)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求得分布列及数学期望。8.(08山东卷18)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.()求随机变量分布列和数学期望;()用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB)9.(2009全国卷理)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。(I)求从甲、乙两组各抽取的人数;(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(III)记表示抽取的3名工人中男工人数,求的分布列及数学期望。10.(2009山东卷理)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q为0.25,在B处的命中率为q,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为: 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求q的值;(2)求随机变量的数学期望E;(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。11.(11年山东18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5,假设各盘比赛结果相互独立。(1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)有X表示红队队员获胜的总盘数,求X的分布列和数学期望EX.
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