课题学习中点四边形形状的识别北京市十一学校于 晓 静05 年 3 月设计思想： 课题学习对学生而言是一种新的学习形式，它需要学生综合所学数学知识、技能与方法，通过解决问题的方式获得对相关知识的进一步理解、体会各部分知识的联系；从而让学生经历实验、想像、分析、猜测、交流、验证与推理等过程，获得问题的解决以及对求解过程的反思。“中点四边形”是华师大版第27章的课题学习，本章27.3从逻辑推理的角度研究了特殊四边形和中位线。因五种特殊四边形的性质和识别较多，又有着许多相似之处，许多学生在学完这部分之后，往往对五种四边形的性质混淆或应用不熟练。设置“中点四边形”这个课题学习，可以有效的把五种四边形的知识和中位线知识综合应用。所以在本节课中，自始至终围绕开篇提出的“草坪问题”，充分利用多媒体灵活多变、信息容量大的特点，以学生为主体，通过观察、讨论、交流、推理等学习方式，把探索“中点四边形形状”这一内容轻松而又愉悦的学完。在探索过程中多次运用了五种特殊四边形识别、性质和中位线性质定理，并在此基础上进行了应用和拓展，有效地培养了学生的抽象思维、逆向思维能力，解决问题的能力；渗透了从“一般特殊一般”研究问题的思想方法；培养了学生勇于探索和勇于创新的精神。课题学习： 中点四边形形状的识别教学目标：知识与技能：1、理解中点四边形的概念，通过观察、分析发现决定中点四边形形状的因素，并能对自己的猜测进行证明。2、会熟练判断中点四边形的形状并会应用。过程与方法：通过观察、讨论、交流等学习方式经历探索决定中点四边形形状的内在因素；能熟练运用学过的各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别。发展学生的抽象思维、逆向思维能力，培养解决问题的能力，锻炼学生有条理的表达能力和与人交流的能力。情感、态度与价值观：由计算机创设的问题情境激发学生的学习兴趣，感受问题的探索性及创造性。通过运动、变化的观点，培养学生由“一般特殊一般”的数学思想方法，拓展思路，培养积极探索、勇于创新的精神。教学重点：中点四边形形状的识别和证明教学难点：分析中点四边形形状教学方法：“自主探究”式教学手段：计算机教学过程阶段学习过程及步骤学生活动教师活动设计意图一、复习 引入复习：回顾上学期学过的中点三角形，并指出被分成的小三角形与原三角形面积的关系。草坪问题：如图是一块不规则四边形的草坪，在每边的中点处各有一棵玉兰树。现因草坪四周施工，需要在不移动玉兰树的情况下把这块草坪的面积减小一半，试问这个方案是否可以实现？请说明理由。 学生观察得出任何一个小三角形面积是原三角形面积的四分之一。学生以小组形式对草坪问题进行探讨，发言教师对学生方案及时给予评价。对连结各中点的方案重点指出。草坪问题与学生实际生活环境密切相关，容易引起学生的学习兴趣。因由中点三角形做铺垫，学生不难想出连结各边中点的方法。 阶段学习过程及步骤学生活动教师活动设计意图二、问题研究与证明在“草坪问题”的基础上引出：中点四边形的定义：如图，四边形ABCD的各边的中点所构成的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。探究活动1：（以草坪问题为例）特殊四边形的中点四边形的形状（1）你能判断出减小后的草坪呈什么形状吗？为什么？（2）若这块草坪是一块平行四边形形状的草坪，那么面积减小一半后的草坪仍然保持形状不变吗？试说明理由（3）原草坪是一块矩形，菱形，正方形，等腰梯形，那么面积减小一半后的草坪是否仍然保持形状不变？试说明理由。利用计算机变换原草坪形状，研究中点四边形形状。 总结：中点四边形可以是平行四边形、菱形、矩形、正方形。中点四边形的形状是由什么因素决定的呢？学生对（1）进行证明证法一：连接ACE、F分别为AB、BC的中点EFAC，EF=1/2AC同理HGAC，HG=1/2ACEFHG 且EF=HG四边形EFGH为平行四边形证法二：连接AC、BDE、F分别为AB、BC的中点EFAC同理HGACEFHG 同理FGHE四边形EFGH为平行四边形学生结合前面学过的各种特殊四边形的识别与性质 ，进行探究和交流，并对中点四边形形状与原四边形的边、角、对角线的关系有所分析。对研究的问题归纳总结。 适时恰当地演示课件，并指导部分学生完成问题（2）仍以草坪问题为背景，通过电脑的动画效果，给学生创造一个发现问题、解决问题的情境，目的在于激发学生的学习兴趣。锻炼学生从运动变化的图形中能看出不变的规律。渗透“从一般到特殊再到一般”的研究问题的方法阶段学习过程与步骤学生活动 教师活动设计意图三、问题的研究和概括探究活动2：（仍以草坪问题为背景，下列问题首先让学生进行思考、猜测，接着利用计算机变换中点四边形形状验证学生猜测，最后由学生给出书面或口头证明）一般四边形的中点四边形形状（1）若施工工人测量得到原草坪的两组对角顶点的连线相等，那么减小一半后的草坪呈何形状？是否可同时判断出原草坪的形状？（2）若测得两组对角顶点的连线互相垂直呢？（3）相等且互相垂直呢？能否判断出原草坪形状？ 通过上述问题的研究发现了什么？发现：原四边形的两条对角线的数量和位置决定了中点四边形的形状。总结规律：原四边形两对角线的数量关系决定了中点四边形的边，位置关系决定了中点四边形的角。（1） 若对角线相等，则中点四边形为菱形；（2） 若对角线垂直，则中点四边形为矩形；（3） 若对角线相等且垂直，则中点四边形为正方形。学生进行思考、画图、分析，也可进行讨论交流然后根据变化的图形和证明验证个人的猜测。 从图形的变化中发现规律。引导学生从图形的变化中发现问题、提出问题。紧紧围绕“草坪问题”再提出问题，使学生对决定中点四边形的形状的因素更加明了。培养学生“观察、发现、猜想、证明、归纳总结”问题的数学思想。阶段学习过程与步骤学生活动教师活动设计意图四、创新与应用应用1、如图，矩形ABCD的长为4，宽为3，连续取三次中点后的最小四边形的面积为多少？应用2、如图，四边形ABCD，对角线AC=BD，ACBD，E、F、G、H分别为各边的四等份点，则四边形EFGH是_.。 应用3、已知：如图，分别以BM、CM为边，向BMC形外做等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。(1) 猜测四边形EFGH的形状，(2) 并证明你的猜想；(3) BMC形状的改变是否对上述结论有影响。学生利用学过的中点四边形知识独立解决应用1、2在应用3中，学生通过看图要抽出熟悉的图形。 老师引导，在应用3中必要时可启发学生抽象出熟悉图形。应用1的设计使学生在体会数学图形美的同时连续应用中点四边形与原四边形的面积关系。应用2对学生的思维进行了发散。应用3是全等知识与中点四边形知识的综合应用。本环节重在培养学生的发散思维能力，灵活应用知识的能力和创新意识。 阶段学习过程与步骤学生活动教师活动设计意图五、小结回顾总结：1、本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学方法？2、决定中点四边形形状的主要因素是什么？3、通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？思考、归纳老师精点培养学生的归纳能力，使本节内容及研究问题的方法内化为个人的知识结构和能力。六、作业在应用3中，通过向三角形形外做等边三角形构造了中点四边形，你还能构造类似的图形吗？并试着进行说明。让学生带着问题走出课堂，培养钻研意识。板书设计中点四边形形状的识别中点四边形证法1：证法2：探究活动1：特殊四边形的中点四边形总结：中点四边形可以是平行四边形、菱形、矩形、正方形。探究活动2：一般四边形的中点四边形总结：1、若对角线相等，则中点四边形为菱形；2、 对角线垂直，则中点四边形为矩形；3、若对角线相等且垂直，则中点四边形为正方形。思想方法：一般特殊一般应用：1、2、3、