竞赛讲座13平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.【例1】求函数y=2sin(_-2x)的单调增区间。兀2tt解：y=2sin(-2x)=2sin(2x+J)。7：271由2kn-.2x+2kn+.,kZ,7tt71得kn-二xwkn-工,kZ。lit兀即原函数的单调增区间为：kn-丄,kn-二(kZ)o7t【例2】若(0,-),比较sin(cos),cos(sin),cos这三者之间的大小。7tTt解:在(0,一)中，sinxxtgx，而0cosxv1v_，二sin(cos)cos。兀在(0,-)中,y二cosx单调递减，二coscos(sin)。sin(cos)cos0,f()=cos(sin一)一二cos1兀-0,0sin丫Y-B=sin(ctgB)ctgy。1 7t作出函数y=ctgx在(0,-)上的图象，可看出：Ba_-。1111一n+112证明：/0LV二!v1,_11丄(k_l)(k+l)0sin丄一1(1)；i_=1-sin2丄一1-1_=一:一,k=2,3,，n111132435_2-(COS-COS匚cos:一)(-)(匚)()(n-1n+1:一l)、三角恒等变换众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。2 33【例1】(1)已知cosB，sin(a+B)=i石，且0a-Bn，求sina的值。7T(2)已知sin(耳-a)=5上，cosf+Ot)4的值。3提示：(1)sina=1sinot兀1191192cos(ct)(2)sin2a=1-2sin(2-a)=1;一=.【说明】三角变换重在角的变换。兀2兀3?t7tt【例2】求COS.I)COS1二COSCOS1二的值。解法1:利用公式cos0cos20cos40-cos2n0二L：二H，得兀2兀4兀8ti11cos*cos一：cos一：cos二-丄，兀2兀4兀7tt1二cos*cos一：cos一：cos丄=:3716tt15tt1又COS-1cos一1=，COS-1二，712兀3n7兀1111COS_COSi.-jcos一匚cosi二二心xx二二:。Ti2je3n7tt解法2:coscosi二cosicos.2te471.6兀14jtsinsinsinsin15151515”兀2sin.2tt2sin.3ti2sin.7712sin=二1.5151511=1二。717T1解法3：利用公式COSaCOS(a+a)COS(_-a)=-COS3a,取a=、一【例3】求cos420+cos440+cos480的值。解：由倍角公式得1+遇2G311cos40=(_)2【例4】若sina+cosB二匚,cosa+sinB二匚，求sinacosB的值。二(1+2cos20+cos220)=:cos20+:cos40,1二cos420+cos440+cos480=:x3+-(cos40+cos80+cos160)195+1(cos80+cos160+cos320)=I+1(cos40+cos80+cos160)959=-(2cos60cos20-cos20)=-。.口1sina+sin9=-32cos0t+cosO=-3(1)一得tg1a+91=,cos(119sinacosB二sin1asin9=-1cos(a+9)+cos(a-9)=-I:【例5】已知f(x)二sin(x+9)+cos(x-9)是偶函数，09n,求9。解法一：由偶函数的定义，可得(Y-；cos9+sin9)sinx=0对任意xR成立。71,1；cos9+sin9=0，2sin(9+_)=0,2血二9+=kn，而09n,9=1。2ti解法二：由f(-J=f(J，得9=1；,然后验证f(x)是偶函数。【例7】方程sinx+Ycosx+a=0在(0,2n)内有相异两根值范围，以及a+B的值。a、B，求实数a的取71解:/sinx+cosx+a=0,.sin(x+-)=-1兀7tta令t=x+-,贝Vt(_,_-),sint=-一。717：7tt作出函数y=sint,t(_,E)的图象:由图象可以看出：当-1-11且-1丰_即-2a-J：或-Jua2时，sint二-1有相异两根11、t2，原方程有相异两根a、卩，并且7tX当-2a-Y时，ti+t2=(a+_)+(B+_)=n,71a+B=_；当-Y-；a2时,717tti+t2=(a+_)+(B+-)=3n，7?a+B=J【例8】已知sinx+siny+sinz二cosx+cosy+cosz=0，求s二tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。Jsinx+siny=-sinz(1)解:由已知得，-：22-(1)+(2)得cos(x-y)=-1，同理，cos(y-z)=-cos(z-x)=-2兀x，y，z中任意两角的终边夹角为3，不妨设x=y+：+2mn,mZ,y=z+2nn,nZ,4兀/x=z+：+2(m+n)n,x+y+z二3z+2(m+2n+1)n,s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz4jt2je=tg3z+tg(z+?)tg(z+?)tgz71兀=tg3z+tg(z+-)tg(z-)tgzTt=tg3z+tgztg(-+z)tg(-z)=0。【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便:1a)=sin3a,兀Xsinasin(一+a)sin(一7T7T1cosacos(_+a)COS(匚一a)=COS3a,兀7Ttgatg(-+a)tg(-a)=tg3a。如sin10sin50sin70。二sin(3x10)=