2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷02（测试范围：第6-8章）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A是棱台B是圆台C是棱锥D不是棱柱2已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在中，若，则的形状是（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形4已知，是不共线的向量，且，则（）AB，C，D三点共线BA，B，C三点共线CA，C，D三点共线DA，B，D三点共线5如图，是水平放置的OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则OAB的面积为（）ABC24D486在复平面内，点分别对应复数，则（）AB1CDi7如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（）ABCD8如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（）ABCD1二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）9已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（）AB在复平面上对应点在第二象限CD的虚部为10在中，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是（）AB与的夹角的余弦值为CD的面积为11已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（）AB若的面积为，则c的最小值为2C若，则的面积为D若，则满足条件的有且仅有一个12如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（）A平面B四面体的体积为C点到面的距离为D四面体的外接球的表面积为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 .14若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 .15在中，是的中点，点为线段上的一点，则的最大值为 .16锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为 四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17试分别解答下列两个小题：(1)已知，设与的夹角为，求；(2)已知，若与共线，且，求的坐标18已知，（为虚数单位）.(1)若是纯虚数，求实数的值；(2)若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.19已知中，D是AC边的中点，(1)求AC的长；(2)的平分线交BC于点E，求AE的长20如图，在四面体，分别是的中点(1)求证：；(2)在上能否找到一点，使平面？请说明理由；(3)若，求证：平面平面21已知向量，函数(1)若，求的值；(2)已知为的内角的对边，且恰好是函数在上的最大值，求的面积22如图，已知ABC为等边三角形，点G是ABC内一点过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E设，且，(1)若，求；(2)若点G是ABC的重心，设ADE的周长为，ABC的周长为（i）求的值；（ii）设，记，求的值域2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷02（测试范围：第6-8章）一、单选题1如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A是棱台B是圆台C是棱锥D不是棱柱【答案】C【分析】利用空间几何体的结构特征判断.【解析】A.不是由棱锥截来的，故不是棱台，故错误；B.不是圆锥截来的，故不是圆台，故错误；C.符合棱锥的结构特征，故正确；D.符合棱柱的结构特征，故错误.故选：C2已知向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由列方程求得的值，结合必要不充分条件的定义即可得解.【解析】由题意，则，而或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3在中，若，则的形状是（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.【解析】因为，所以，所以.因为，所以.又因为，所以，为直角三角形.故选：B4已知，是不共线的向量，且，则（）AB，C，D三点共线BA，B，C三点共线CA，C，D三点共线DA，B，D三点共线【答案】C【分析】利用平面向量共线定理求解.【解析】因为，所以，若B，C，D三点共线，则，即，无解，故A错误；若A，B，C三点共线，则，即，无解，故B错误；若A，C，D三点共线，则，即，解得，故C正确；若A，B，D三点共线，则，即，无解，故D错误.故选：C.5如图，是水平放置的OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则OAB的面积为（）ABC24D48【答案】D【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的OAB，求解面积即可.【解析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的OAB，其面积为.故选：D.6在复平面内，点分别对应复数，则（）AB1CDi【答案】D【分析】根据复数几何意义，求得，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.【解析】由点和分别对应复数，可得，所以.故选：D.7如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（）ABCD【答案】D【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度.【解析】在图2中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面积为，高为2，四棱柱的体积为，设图1中容器内水面高度为h，则V，解得h.图1中容器内水面的高度是.故选：D.8如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（）ABCD1【答案】C【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值.【解析】对于式子，两边同乘，可得，即，由正弦定理化简可得，由，两边同时除以得，故选：C二、多选题9已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（）AB在复平面上对应点在第二象限CD的虚部为【答案】ACD【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项.【解析】因为.对于A选项，A对；对于B选项，在复平面上对应点的坐标为，位于第四象限，B错；对于C选项，C对；对于D选项，的虚部为，D对.故选：ACD.10在中，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是（）AB与的夹角的余弦值为CD的面积为【答案】AC【分析】根据向量线性运算直接判断即可知A正确；以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算可求得B错误；由向量数量积坐标运算可求得C正确；由可知D错误.【解析】对于A，为中点，A正确；对于B，以为坐标原点，正方向为轴可建立平面直角坐标系，则，即与夹角的余弦值为，B错误；对于C，C正确；对于D，D错误.故选：AC.11已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（）AB若的面积为，则c的最小值为2C若，则的面积为D若，则满足条件的有且仅有一个【答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解【解析】，由正弦定理可得，即，对于A选项，由余弦定理可得，故A错误；对于B选项，由题可知，由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；对于C选项，由题可知，由正弦定理得，的面积为，故C正确；对于D选项，由余弦定理可得，即，解得或，故D错误故选：BC12如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（）A平面B四面体的体积为C点到面的距离为D四面体的外接球的表面积为【答案】ACD【分析】由已知结合线面垂直的判定定理判断A；计算棱锥的体积公式判断B；由等体积法求出G点到面SEF的距离判断C；根据SG，EG，FG两两垂直计算外接球的半径，进一步求出外接球的表面积判断D【解析】对于A，由已知可得SGFG，SGEG，EGFGG，平面EFG，则SG平面EFG，故A正确；对于B，由已知可得EGFG，EGFG，则，又SG平面GEF，SG1，故B错误；对于C，EF，SD，设G到平面SEF的距离为d，则，可得d，即G点到面SEF的距离为，故C正确；对于D，SG，EG，FG两两垂直，且EGFG，SG1，三棱锥的外接球可看作棱长分别为，1的长方体的外接球，故外接球的直径，r，外接球的表面积为：，故D正确故选：ACD三、填空题13已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 .【答案】【分析】把代入方程并化简，利用复数相等的概念得到的值，即得的值【解析】把代入方程得，所以，所以，所以，解得，所以故答案为：14若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 .【答案】4【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长与圆锥的底面周长相等，求得圆锥底面的半径，进而得圆锥的高.【解析】由题意，圆锥侧面展开图的半径为，所以圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为，则 ，解得，可得圆锥的高为