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压轴大题突破练函数与导数(一)1 (2013北京)设l为曲线C:y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方(1)解由y,得y,x0.ky|x11.直线l的方程为yx1,即xy10.(2)证明要证明,除切点(1,0)外,曲线C在直线l下方只要证明,对x0且x1时,x1.设f(x)x(x1)ln x,x0,则f(x)2x1.因此f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增f(x)f(1)0,即x(x1)ln x.故当x0且x1时,x1成立因此原命题成立2 已知f(x)x3ax2a2x2.(1)若a1,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若a0,求函数f(x)的单调区间;(3)若不等式2xln xf(x)a21恒成立,求实数a的取值范围解(1)a1,f(x)x3x2x2,f(x)3x22x1,kf(1)4,又f(1)3,切点坐标为(1,3),所求切线方程为y34(x1),即4xy10.(2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa),由f(x)0得xa或x.当a0时,由f(x)0,得ax0,得x,此时f(x)的单调递减区间为(a,),单调递增区间为(,a)和(,)当a0时,由f(x)0,得x0,得xa,此时f(x)的单调递减区间为(,a),单调递增区间为(,)和(a,)综上:当a0时,f(x)的单调递减区间为(a,),单调递增区间为(,a)和(,)当a0时,f(x)的单调递减区间为(,a),单调递增区间为(,)和(a,)(3)依题意x(0,),不等式2xln xf(x)a21恒成立,等价于2xln x3x22ax1在(0,)上恒成立,可得aln xx在(0,)上恒成立,设h(x)ln x,则h(x).令h(x)0,得x1,x(舍),当0x0;当x1时,h(x)0.当x变化时,h(x),h(x)变化情况如下表:x(0,1)1(1,)h(x)0h(x)单调递增2单调递减 当x1时,h(x)取得最大值,h(x)max2,a2,a的取值范围是2,)3 如图所示,四边形ABCD表示一正方形空地,边长为30 m,电源在点P处,点P到边AD,AB的距离分别为9 m,3m.某广告公司在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MNNE169,线段MN必须过点P,端点M,N分别在边AD,AB上,设ANx(m),液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)(1)用x的代数式表示AM;(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域;(3)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?解(1)因为点P到边AD,AB的距离分别为9 m,3 m,所以由平面几何知识,得,解得AM(10x30)(2)由勾股定理,得MN2AN2AM2x2.因为MNNE169,所以NEMN.所以SMNNEMN2,定义域为10,30(3)S,令S0,得x10(舍),x293.当10x93时,S0,S为减函数;当930,S为增函数所以当x93时,S取得最小值4 已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若a2,求证:f(x)在(1,)上是增函数;(2)求f(x)在1,e上的最小值(1)证明当a2时,f(x)x22ln x,当x(1,)时,f(x)0,所以f(x)在(1,)上是增函数(2)解f(x)(x0),当x1,e时,2x2a2a,2e2a若a2,则当x1,e时,f(x)0,所以f(x)在1,e上是增函数,又f(1)1,故函数f(x)在1,e上的最小值为1.若a2e2,则当x1,e时,f(x)0,所以f(x)在1,e上是减函数,且最小值为e2a.若2a2e2,则当1x 时,f(x)0,此时f(x)是减函数;当 0,此时f(x)是增函数又fln ,所以f(x)在1,e上的最小值为ln ;综上可知,当a2时,f(x)在1,e上的最小值为1;当a2e2时,f(x)在1,e上的最小值为e2a;当2a2e2时,f(x)在1,e上的最小值为ln .
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