1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征自主学习 学习目标1了解和认识多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，加深对几种几何体的概念及性质的理解2了解凸多面体和平行六面体等的概念3掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质 自学导引1棱柱(1)棱柱的主要特征性质：_；其余每相邻两个面的交线都互相平行(2)棱柱的_叫做棱柱的底面，_叫做棱柱的侧面，_叫做棱柱的侧棱，_叫做棱柱的高(3)棱柱的分类：棱柱按底面分是三角形、四边形、五边形分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.棱柱又分为斜棱柱和直棱柱：侧棱与底面_的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面_的棱柱叫做直棱柱，底面是_的直棱柱叫做正棱柱(4)特殊四棱柱：底面是_的棱柱叫做平行六面体，_的平行六面体叫做直平行六面体，底面是_的直平行六面体是长方体，_的长方体是正方体2棱锥(1)棱锥的主要结构特征：有一个面是_；其余各面都是_的三角形(2)棱锥中_，叫做棱锥的侧面；_叫做棱锥的顶点；_叫做棱锥的侧棱；_叫做棱锥的底面；_叫做棱锥的高(3)如果棱锥的底面是_，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的_，则这个棱锥叫做正棱锥正棱锥各侧面都是_，它们底边上的高叫做棱锥的斜高3棱台(1)棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台_分别叫做棱台的上下底面；其他各面叫做棱台的_；_叫做棱台的侧棱；_叫做棱台的高(2)由_截得的棱台叫做正棱台(3)正棱台各侧面都是_，这些等腰梯形的高叫做棱台的_对点讲练知识点一理解棱柱、棱锥、棱台定义和性质例1下列概念判断不正确的有_(填序号)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台点评对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力变式训练1下列命题正确的是()A斜棱柱的侧棱有时垂直于底面B正棱柱的高可以与侧棱不相等C六个面都是矩形的六面体是长方体D底面是正多边形的棱柱为正棱柱知识点二几何体的结构特征例2如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？点评解此类问题应结合常见的几何体的定义和结构特征，进行空间想象或亲自动手，制作表面展开图进行实践变式训练2如图所示，小明设计了某个产品的包装盒，他少设计了其中的一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子你有几种弥补的办法？任意画出一种成功的设计图知识点三多面体中有关元素的计算例3如图所示，正四棱台AC的高为17 cm，两底面的边长分别为4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱和斜高点评关于正棱台的计算问题解决问题的关键是：(1)棱台的高尽管棱台的高是上、下两底面之间的距离，但正棱台的上、下两底面中心的连线就是棱台的高；(2)正棱台的斜高就是侧面(等腰梯形)的高要明白该梯形的上、下中点的连线就是斜高(3)解题时要注意两个直角梯形，即：直角梯形OBBO和OEEO，计算问题都可以在这两个梯形中进行，我们以后要熟练掌握变式训练3正四棱锥PABCD的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PE.一、知识结构梳理二、几种特殊四棱柱的特征和性质(见下表)名称平行六面体直平行六面体长方体正方体结构特征底面是平行四边形的棱柱侧棱与底面垂直的平行六面体底面是矩形的直平行六面体棱长都相等的长方体特殊的性质底面和侧面都是平行四边形侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形底面和侧面都是矩形棱长都相等，各面都是正方形1.长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，即l2a2b2c2.其中l是长方体的对角线长，a，b，c是长方体的三边长2对于正棱锥和正棱台，要注意准确理解概念，把握图形的特征，尤其是图中的一些重要的直角三角形和直角梯形3棱台是由棱锥截得的，在处理与棱台有关的问题时要注意联系棱锥的有关性质，“还台为锥”是常用的解题方法和策略. 课时作业一、选择题1有四个集合：A棱柱，B四棱柱，C长方体，D正方体，它们之间的包含关系是()ACDAB BDCBACCADB DBDCA2下列说法正确的是()A棱柱的侧面都是矩形B棱柱的侧棱不全相等C棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体D棱柱的几何体中至少有两个面平行3如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥4设有四个命题甲：有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；乙：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；丙：用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；丁：侧面都是长方形的棱柱叫长方体其中，真命题的个数是()A0 B1 C2 D35有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是()A底面为平行四边形的四棱柱B五棱锥C无平行平面的六面体D斜三棱柱题号12345答案二、填空题6一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_cm.7.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是_8在下面4个平面图形中，哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_(把你认为正确的序号都填上)三、解答题9如图，请设计辅助线，沿辅助线翻折，使正三角形折成(1)正四面体；(2)正三棱柱10如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)设三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长【答案解析】自学导引1(1)有两个互相平行的面(2)互相平行的面其余各面两侧面的公共边两底面之间的距离(3)不垂直垂直正多边形(4)平行四边形侧棱与底面垂直矩形棱长都相等2(1)多边形有一个公共顶点(2)有公共顶点的各三角形各侧面的公共顶点相邻两侧面的公共边 多边形顶点到底面的距离(3)正多边形直线上 全等的等腰三角形3(1)原棱锥的底面和截面侧面相邻两侧面的公共边两底面间的距离(2)正棱锥(3)全等的等腰梯形斜高对点讲练例1解析理由：(1)有两个面平行，其余各面是平行四边形，但不一定是棱柱，如图.(2)在四棱锥PABCD中，若PD平面ABCD，而四边形ABCD为矩形，则可证明其四边侧面都是直角三角形，如图.(3)存在满足有两个面平行，其余各面是梯形，但不是棱台的图形，如图.变式训练1C四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体，两个底面是矩形的直平行六面体是长方体，故正确答案为C.例2解五棱柱五棱锥三棱台如图所示变式训练2解共有4种，设计如图(画出其中一种即可)例3解设棱台两底面的中心分别为O和O，BC和BC的中点分别为E和E.连接OO、EE、OB、OB、OE、OE，则OBBO和OEEO都是直角梯形因为AB4 cm，AB16 cm，所以OE2 cm，OE8 cm，OB2 cm，OB8 cm.因此BB19 cm，EE5 cm.即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.变式训练3解正四棱锥的底面边长为a，AOa，在RtPAO中，PA .OEa，在RtPOE中，斜高PE.即此正四棱锥的侧棱长为，斜高为.课时作业1B2.D3D如图所示，正六边形ABCDEF中，OAOBAB，那么正六棱锥SABCDEF中，SAOAAB，即侧棱长大于底面边长4A5.D6.127.四棱柱8.9解(1)如图，取各边中点可折成正四面体(2)如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边为三角形边长的.有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形，恰可拼成这个正三棱柱的上底10解(1)正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为.(2)如图所示，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连结MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PCx，则P1Cx，在RtMAP1中，由勾股定理得(3x)22229，求得x2.PCP1C2.，NC.