综合法求直线与平面所成的角方法：直线与平面所成的角1 作角：在斜线上取一点作平面的垂线2 .用等积法求斜线上一点到平面的距离1已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2, A、B两点在a内的射影之间距离为，3, 求直线AB和平面a所成的角.解（1）如图，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别 为A. Bi ,贝u AAi= 1, BBi=2, BiAi= 3过点A作AH _L BB1于H ,则AB和a所成角即为Z HAB.而 tanZ BAH 二三:二申.33/ BAH = 30如图，当A、B位于平面a异侧时，经A、B分别作AAa于属,BBi，a于Bi, AB Ca= C,则AB为AB在平面a上的射影，Z BCBi或N ACAi为AB与平面a所成的角. BCBqA ACAi,.BBi BiC.二二2, AAi CAi , BiC 2CAi,而 B1C+ CAi . 3, *匕煲,tanN 5CBi 二器二右二3,3Z BCBi = 60综合（1）、（2）可知：AB与平面a所成的角为30或60 2如图，在三棱锥 ABC- ABG 中，ABC =90 , AB=AC= 2, AA i= 4, Ai 在底面ABC的射影为BC的中点，D为BiCi的中点证明：AiD _ 平面A1BC ；（2）求直线AiB和平面BB】C3所成的角的正弦值【答案】略；(2)【解析】(1)利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；通过添加辅助线，证明 AF 一平面BBQC，以此找到直线与平面所成角的平面角NABF，在直角三角形ABF中通过确定边长，计一算ZABF的正弦值.试题解析：(1)设上为2c中点，由题意得A】E 平面JdC，所以AiE _AE.因为AB=AC，所以AE _ BC .所以AEL平面ABC .由D , E分别为BiCiBC的中点，得DEBB】且DE=BB，从而DEAA且DE=AA,所以AAiDE是平行四边形，所以 AiD/AE.-因为AE_L平面ABC，所以Ad)_L平面A】BC .fl作AF DE ,垂足为F ,连结F.因为AE_L平面ABC，所以BC_LAiE.因为BC _ AE，所以BC 一平面AA】DE .所以 BC _ AF, AF _ 平面 BBGC .所以.ABF为直线AB与平面BBiCiC所成角的平面角 由 AB=AC=2, CAB =90，得 EA = EB 二 J.由 AE _ 平面 A】BC ,得 AA=ArB=4, A】E 二.；14 .由 DE二BB1二4, DA1二 EA二,2, . DA】E -90 ,得 A1F7-2所以 sin ArBF 7 8【考点定位】1空间直线、平面垂直关系的证明；2直线与平面所成的角【名师点睛】本题主要考查空间直线与平面垂直的证明以及直线与平面所成角的大小的计算能够利用直线与平面垂直的定义及判定，通过直线与直线垂直证明得到直线与平面垂直；通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力 3在三棱柱中ABCABC中,侧面ABBA为矩形，AB =2, AA1=2、2, D是AAi的 中点，BD与ABi交于点0，且CO 平面ABBiA 1 D 4(1)证明：BC-ABx ；(2)若0C=0A，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.15【答案】详见解析(2)5【解析】试题分析：(1)证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得到，而线线垂直的寻找与论证，往往需要结合平几知识进行：如本题就可利用三角形相似得到rAB COA 1 BD，再由线面垂直C。，平面AB】A得到线线垂直i_L，因此得到AB：_L平面CBD ,BC即血- (2)由(1)中垂直关系可建立空间直角坐标系，利用空间向量 求线面角：先求出各点坐标，表示出直线方向向量，再利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积 求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求解tan ABD = AD-Jan ABiB= J试题解AB 2BB 2/1 i+i HiS 声ZABJ ABiB ABiB BAB】=/ABD BAB1=2B BDABBtCQA i 又Co，平面 1 Al ._ BD与8交于点。，. AB1 一平面CBD ,又BC平面CBD.A 一 BC设平面ABC的法向量为门-X V，z建立如图所示的空间OD,OB , OC如图，分别以 所在直线为x,y,z轴，以。为坐标原点,2 菩、了 2 J6、/ 伍A 0, - , 0 , B , 0, 0IC1 0, 0 ID- , 0, 0直角坐标系。一Xy；则I 3 J I 3 J I，r j ,AB=L 还 MOtCJOM I, CD二德，0 卫 F(33 J (33 J (3ntt q AB=O-则、一兰X?Jy=O332零 25 八y 十Z = 0，即.3H2i i- 1-12 J ,又 FA JJg面 ABCD，所以 PC BD.如图，设AC A BD= F,连接EF.令心，则Zj叮，所以口 设直线CD与平面ABC所成角为,嗥。普碍,1,-1 |Sina = COS(CD 同=-户 342J2考点：线面垂直判定与性质定理，利用空间向量求线面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直4如图，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为菱形，FA_L底面ABCD , AC=2 2ypA=2, E 是PC上的一点，PE=2EC.证明：PC _L平面BED ；设二面角A PB- C为90求PD与平面PBC所成角的大小.(1)证明因为底面ABCD为菱形, 所以BD AC.因为 AC= 2/ FA= 2, PE= 2EC, 故 PC二 2 歹 EC 二中昆=2, 5从而pC=6 jAC 假pr Ap因为第=霹，ZFCE= ZPCA所以 FCEs PCA, N FEC = N PAC= 90 .由此知 PC EF.因为PC与平面BED内两条相交直线BD, EF都垂直，所以PC _L平面BED.(2)解 在平面PAB内过点A作AG，PB, G为垂足.因为二面角A- PB 一 C为90所以平面PAB _L平面PBC.又平面PAB A平面PBC=PB,故 AG _L平面 PBC, AG BC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA, AG都垂直，故BC _L平面PAB,于是BC _L AB,所以底面ABCD为正方形，AD=2,PD = PA-+ AD= 2 2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD BC,且AD?平面PBC, BC?平面PBC,故AD 平面PBC, A、D两点到平面PBC的距离相等，即d=AG=2.设PD与平面PBC所成的角为a ,m.r .d 1则 sm a=-所以PD与平面PBC所成的角为306.如图所示，在直三棱柱ABC AiBC中，AC_L“二七4 ； 分别是明B的中点. (1)求证:MN_L平面 AiBC;求直线BCi和平面AiBC所成的角的大小.(i)证明 如图所示，由已知BC AC , BC CCi,得BC _L平面ACCiAi.连接ACi ,贝u BC _LACi.由已知，可知侧面ACCiAi是正方形，所以AiC ACi. 又 BC A AiC 二 C, 所以AC平面AiBC .因为侧面ABB iAi是正方形，M是AiB的中点，连接ABi,则点M是ABi的中点.又点N是BiCi的 中点，贝uMN是Zx ABC的中位线，所以MN / AC-故MN_L平面AiBC .解 如图所示，因为ACi_L平面AiBC ,设AS与AQ相交于点D ,连接BD，则N CiBD为直线BQ和平面AiBC所成的角.设 AC 二 BC = CC】= a,贝 U C】D 二-27，BC1=2a.在 RtA BDCi Sin Z CiBD 二 CD二、BCi 2所以 Z CiBD = 30 0故直线BCi和平面AiBC所成的角为30