第九讲：对数与对数运算学习目标1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2. 了解常用对数与自然对数的意义.3. 理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.口自学导引1.如果a(a0且az 1)的b次幕等于N,就是ab= N,那么数b叫做以a为底N的对数，记作b= logaN, 其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2对数的性质有：(1)1的对数为零亠底的对数为1;零和负数没有对数.3. 通常将以10为底的对数叫做常用对数可以 e为底的对数叫做自然对数，记为lgN, logeN简记为l若. a0，且 az 1,贝 U ab= N 等价于 logaN= b.对4. 数恒等式：alogaN= N(a0 且 1)5.对点讲练、对数式有意义的条件1求下列各式中x的取值范围：(1) log2(x 10); (2)log( 1)(x+ 2)； (3)log (x+1)(x 1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于X的不等式(组)，解之即可.解由题意有X 100, x10，即为所求.x+ 20,由题意有1lx 10且 x 1 z 1,lx 2， 即 $ x1 且 xz 2.lx1 且 xz 2,f(x 1)20,(3)由题意有$x+ 10且 x+ 1 z 1,解得 x 1 且 xz 0, xz 1.点评 在解决与对数有关的问题时， 且不等 定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零 于1.变式迁移1在b二log (a-2)(5 a)中，实数a的取值范围是()A . a5 或 a2B. 2a0, a丰1)的b次幕等于N,就是ab= N,那么b叫做以a为底N记作logaN 的对数，二b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2. 利用ab= N? b= logaN (其中a0,1, N0)可以进行指数与对数式的互化. 对数恒等式：alogaN= N (a0且a* 1).课时作业、选择题1 下列指数式与对数式互化不正确的文组是A. 100= 1 与 lg1 = 0你我共享27 3= 3与log273=3C. log 32= 9 与 92= 3D. log 55= 1与 51= 52.指数式b6= a (b0, b丰1)所对应的对数式是(A. log6a = a B. log6b= aC. logab = 6 D. logba= 63.若logx八/5 2) = 1,则x的值为()A. 75-2 B八5 + 2C 爲一2 或/5+ 2 D . 2 Vs4.如果f0）= X,则f（3）等于（）A.53log310 B. lg3 C. 10 D . 3 121 + 2 log25的值等于()102 +2 D .二、 填空题6. 若 5lgx= 25,7. 设 Ioga2= m, loga3 =则x的值为a2m+n的值为2.778 2& 已知 lg6 0.778 2,贝 U 10解答题9.求下列各式中x的值若Iog3卜尹卜1，则求x值;若Iog2 oo3（X2 1） = 0，则求x值.10.求 x 的值：(1)x= log八A； (2)x= log八/s;(3)x= 71 - Iog75 ；1Iogx8=一 3；Iog2x= 4.3.1 1匕， 1 1对数与对数运算(二)O 学习目标1掌握对数的运算性质及其推导.2能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.口自学导弓I1. 对数的运算性质：如果a0, a M1, M0 , N0，那么, (1)loga(MN)二 logaM + logaN ; log aN = logaM logaN;(3) logaMn= nlogaM(n R).logcb2. 对数换底公式：logab= logca.对点讲练一二V一、正确理解对数运算性质例1若a0, aM 1, x0,y0, xy,下列式子中正确的个数有 () logax -log ay= loga (x+ y); logax log ay = loga(x y);x log ay= log ax Tog ay ； loga(xy)= logax log ay.A . 0个B . 1个答案 A解析 对数的运算实质是把积、 商、幕的对数运算分别转化为对数的加、 减、乘的运算.在 运 算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log axM loga x, logax是不可分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件. 变式迁移1若a0且aM 1, x0, n N*,则下列各式正确的是()A . logax= logax B . (logax)= nlogaxC.nn(log ax) = log ax1D . logaX= loga x入2、对于a0且aM 1,下列说法中，正确的是M = N,贝U logaM = logaN ； logaM = logaN，则 M = N； log aM2= logaN2，贝贝 M 二 N; 若 若 若若 M 二 N,贝U logaM2= logaN2.A .与 B .与C .D .、二、对数运算性质的应用例2计算：(1) log 535 2log+ log 57 Iog51.8;(2) 2(lg 眾)2 + Ig 护 Ig5 + 寸(Ig 述)2 Ig2 + 1 ; Ig 回 + Ig8 -典 1 000Ig1.2；(lg5)2 + lg2 lg50.分析利用对数运算性质计算.9解 原式=Iog5(5x 7) 2(log57 log53) + log57 logsg=log55+ log 57 2log 57 + 2log53 + log 57 2log53 + log55=2log55 = 2.(2) 原式=lgV2(2lg 返 + lg5) +yj (加-1)=Ig V2(lg2 + lg5) + 1 Igf = Igf + 1 /2 = 1.332lg3 + 3lg2 23lg3 + 6lg2 3 3(3) 原式=2.lg3 + 2lg2 12(lg3 + 2lg2 1) 22原式=(lg5) + lg2 (lg2 + 2lg5)2 2 2=(lg5)+ 2lg5 lg2+ (lg2)= (lg5+ lg2) = 1.点评 要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用. 变式迁移2求下列各式的值：(1)log 535 + 2log 眾一log 5八8514；2(1 log63) + log62 log618 4og64.32(3) 2log 32 log 八9 + log 38 5log53 ；22(4) lg25 + 3lg8 + lg5 lg20+ (Ig2)；log八2 Iog79.Iog5 Iog7八4三、换底公式的应用例 3(1)计算：(log 2125 + Iog425 + log 85)(log 52 + Iog254 + Iog1258).设 3x= 4y= 36, 求 X + y 的值；已知 Iog189= a,18b= 5，求 log3645. 解 (1)方法一原式= u3 , 109225 log25Y Vg2 Iog24 log28Aog5L 2log25 Iog25 V 2log52 3log52=(3 +1+ l jog25 (3log52)Iog54 , Iog58 log 525 log 5125 丿(3Iog25 + 2log22 + 3log22 Aog52 +2log八5 + 3log八5；=13Io g25iS=13.方法二原式Ag125 Ig25Ig八4g2丄Ig4丄Ig8、万法一原式=jg厂+苗+丽丿+両+ IgJ+_ plg5 2lg5 Ig5 Yg2 2lg2 3lg2、=I Ig2 + 2lg2 + 3lg2 力 g5 + 2lg5 + 3lg5 丿 怦侶 Y 13 k3lg2 丿 Fa 厂 13.(2)由已知分别求出x和y. 3x= 36,4y= 36,-x= Iog336, y= Iog436, 由换底公式得：log 36361log 36361X =y =Iog363Iog363 Iog364Iog3641 1 収二 log36