学号：哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 浅析微分方程解的存在唯一性 学 生 指导教师 年 级 专 业 系 别 数学系学 院 数学科学学院 哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 浅析微分方程解的存在唯一性学生姓名 指导教师年 级 专 业 数学与应用数学2011 年 11 月课题来源： 题目自拟课题研究的目的和意义： 解的存在唯一性定理是微分方程求解、定性分析及数值计算的理论保证，本文总结了定理使用的条件并举出解不唯一的反例，加深对定理的认识和理解。国内外同类课题研究现状及发展趋势：近代数学历史中，数学研究的主体都集中于函数理论及其相关问题上，而微分方程，作为函数理论中不可或缺的组成部分，对它的研究从未间断过。以一阶微分方程解的存在性为主要对象的研究，直接关系到高阶微分方程等一系列与数学有关的问题的研究进程，甚至于关系到物理科学、计算机应用科学、生物技术、建筑学及原子物理学等相关理论的研究，因而十分重要。近年来，国内对于一阶微分方程的研究主要集中在力学、水文和石油钻探领域，随着科学的日益发展和不断进步，此类问题的研究将会陆续不断深入。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 主要内容和方法浅析微分方程解的存在唯一性 微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和数值计算的基础。本文运用实例对方程解的存在唯一性进行分析。 1微分方程初值问题解的存在唯一性定理2解的存在唯一性定理实例分析3. 微分初值问题解的存在唯一性定理的其他应用 主要问题和解决办法 反例的应用及求解，主要通过资料查阅和相关学者访问解决。课题研究起止时间和进度安排： 起止时间：2011年11月25日-2012年4月15日2011年11月25日-2011年12月31日 收集论文资料，确定论文题目2012年1月1日-2012年2月28日 整理论文资料，完成初稿2012年3月1日-2012年3月31日 教师指导，修改稿2012年4月1日-2012年4月15日 打印论文，定稿 课题研究所需主要设备、仪器及药品： 计算机、打印机外出调研主要单位，访问学者姓名：指导教师审查意见：同意开题指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见：同意开题_分析与方程_教研室（研究室）主任 （签字） 年 月院（系）审查意见：同意开题_数学科学学_院（系）主任 （签字） 年 月学号：2008025204哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 浅析微分方程解的存在唯一性 学 生 指导教师 年 级 专 业 系 别 数学系学 院 数学科学学院 哈尔滨师范大学 2012年4月浅析微分方程解的存在唯一性 摘要：微分方程解的存在唯一性定理是方程求解和数值计算的基础。本文运用实例对方程解的存在唯一性进行分析。关键词：微分方程 解的存在唯一性 实际问题中，我们遇到更多的是带有初值的微分方程的求解，本文分析微分方程解的存在唯一性。一 微分方程初值问题解的存在唯一性定理定理：方程 （1）的右端函数 在闭矩形域上满足条件： 连续，关于满足李普希兹条件， 则初值问题存在唯一的定义在区间上的解，其中 。注：在矩形区域 R： （2）对满足李普希兹条件：即存在常数，使对所有， 1.初值问题（1）等价于方程 （3） 2.构造得解函数序列任取一连续函数，代入（3）左端，得 3.函数序列在上一致收敛到。这里为 =即 则需由 则需由于从而在上的一收敛性等价于函数项级数 在一收敛性。二解的存在唯一性定理实例分析例1. 讨论方程 的解的存在与唯一性。 解： 方程右端函数 在平面上连续，又处连续。 方程在区域内保证初值解存在且唯一，即过区域G内任意一点有且仅有一条积分曲线，而对区域G的边界上任意一点，由于 则可知的邻域中不满足李普希兹条件。 事实上，若存在即 从而当时，有。但在附近，此式子不可能成立。因此，对上任意一点，只能断定至少有一条积分曲线通过。显然，是方程的解。又易求得的通解为，其中c为任意常数。因此，对积分曲线上任意一点，还有另一条积分曲线与它在此点相切。即在上每一点处，解的唯一性均被破坏。例2. 讨论方程 的解的唯一性。 解： 因右端函数及其偏导数均在区域内每一点只有一条积分曲线通过。而对上任一点，在点的任一领域中连续，但因 ，则可知在中不满足李普希兹条件。因此，只能断定点至少有一条积分曲线。易知是方程的解。又可得方程的通解为。这些积分曲线中的任何一条不可能与相交，故对任一点，仍只有唯一的积分曲线通过。此例表明，当李普希兹条件不满足时，初值问题的解仍可能唯一。从而方程的右端函数在的任何领域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值问题解唯一的必要条件。例3. 考虑方程，设函数在区间内满足条件其中。试证方程存在唯一的解。 证明： 任取，记，按此法利用方程的右端反复迭代，便可得到一个逐次近似数列， 其中 可以证明此数列收敛，且其极限就是方程的解，即有又可证方程的解唯一。三 微分初值问题解的存在唯一性定理的其他应用例4：讨论初值问题的解存在唯一区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式，其中R： 解：这里 在R上,由于由 =0上半平面是连续的。根据微分方程解的唯一存在性定理，我们可以说在上半平面中的任何点（），并以为中心的区域上，所给的微分方程有唯一解。因此，即使不解方程，我们也知道在以2为中心的某个区间上得初值问题，有唯一解。例7. 判断奇解：讨论方程 是否有奇解。解：方程右端函数在平面上连续。又，故由，得，直接验证知它是的解。利用变换把方程化为变量可分离方程，就可得方程的通解为， 其中 c为任意常数。对上任一点，可知积分曲线与它在此点相切。因而，在上的每一点，解的唯一性均被破坏，故是方程的奇解。参考文献：1王高雄：常微分方程，高等教育出版社，2006年版.2张锦炎：常微分方程几何理论与分支问题，北京大学出版社，1987年版.3房琦贵：常微分方程解的存在唯一问题的讨论，科技信息2010年第15期.4张芷芬：微分方程定性理论，科学出版社，1985年版. THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATIONAbstract: The existence and uniqueness of the solution of differential equation is the basis of equation and the numerical calculation. In this thesis，the existence and uniqueness of the solution of differential equation is analyzed by using example.Keywords: differential equation，the existence and uniqueness 论文评阅人意见论文（设计）题目浅析微分方程解的存在与唯一性作 者评阅人评阅人职称意 见本论文对解的存在唯一性运用实例进行了总结和分析，结构合理，层次分明, 分三个部分进行理论实例分析。例题详尽准确，从正反角度解读定理，是一篇合格的毕业论文。文章流畅全面，达到学士学位论文要求的水平，建议答辩并授予学士学位。评阅人签字评阅意见论文评阅人意见论文（设计）题目浅析微分方程解的存在与唯一性作 者评阅人评阅人职称意 见 文章在分析解的存在与唯一性定理的基础上再对它进行进一步的讨论，同时还应用于实例，这些是进行微分方程理论研究较重要的问题。文章结构得当，总结详细，是一篇较好的毕业论文，符合学士论文要求的水平，建议答辩并授予学士学位。评阅人签字