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第5练 导数与几何意义一.强化题型考点对对练1. (导数的几何意义)【山东省菏泽期中】已知函数的图像为曲线,若曲线存在与直线少垂直的切线,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B2(导数的几何意义与不等式的结合)已知,曲线在点处的切线的斜率为,则当取最小值时的值为( )A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得, ,则当时, 取最小值为4,故选A.3. (导数的几何意义)已知函数的图象在点处的切线过点,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,所以切线斜率为,切线方程为,整理得:,代入,解得,故选B.4. (导数的几何意义与不等式的结合)函数的图像在点处的切线斜率的最小值是( )A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】因为,所以函数的图象在点处的切线斜率为,所以函数的图象在点处的切线斜率的最小值是,故选.5(导数的几何意义)【山东省德州期中】 函数的图像在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A6(导数的几何意义)已知函数是定义在的可导函数, 为其导函数,当且时, ,若曲线在处的切线的斜率为,则( )A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】令 ,则 ,所以当 时, ; 当 时, , 所以函数 在 内为减函数, 在 内为增函数, 且在 时取得极小值,所以 , 故有 , 又 , 所以 .7.(导数的几何意义)若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D8.(导数的计算)【福建省福安期中】已知的导函数,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】,选A.9. (导数的几何意义)【福建省福州期中】已知函数,若曲线在点,( ,其中互不相等)处的切线互相平行,则的取值范围是_.【答案】【解析】函数, 曲线在点,其中互不相等)处的切线互相平行,即在点处的值相等,画出导函数的图象,如图, 当时, , 当时, 必须满足, ,故答案为.10. (导数的几何意义与不等式的结合)已知函数. (1)当,求的图象在点处的切线方程;(2)若对任意都有恒成立,求实数的取值范围.11(导数的综合应用)【山东省菏泽期中】已知函数.(1)求在处的切线方程;(2)试判断在区间上有没有零点?若有则判断零点的个数.【解析】(1)由已知得,有, ,在处的切线方程为: ,化简得(2)由(1)知,因为,令,得,所以当时,有,则是函数的单调递减区间; 当时,有,则是函数的单调递增区间当时,函数在上单调递减,在上单调递增;又因为, , ,所以在区间上有两个零点二.易错问题纠错练12. (不能灵活分析问题和解决问题而致错)已知函数.(1)过原点作函数图象的切线,求切点的横坐标;(2)对,不等式恒成立,求实数的取值范围.()方法一:不等式对, 恒成立,对, 恒成立.设, , , .当时, , 在, 上单调递减,即, 不符合题意. 当时, .设,在, 上单调递增,即. ()当时,由,得, 在, 上单调递增,即, 符合题意; (ii)当时, , , 使得,则在, 上单调递减,在, 上单调递增,则不合题意. 综上所述, . ()方法二:不等式对, 恒成立,对, 恒成立.当时, ;当时, ,不恒成立;同理取其他值不恒成立.当时, 恒成立;当时, ,证明恒成立. 设, , ,.在, 为减函数,. ()方法三:不等式对,恒成立,等价于对, 恒成立. 设,当时, ;,函数过点(0,0)和(1,0),函数过点(1.0),在恒成立,一定存在一条过点(1,0)的直线和函数、都相切或,一定存在一条过点(1,0)的直线相切和函数相交,但交点横坐标小于1,当都相切时不大于等于0. .【注意问题】利用导数可以研究函数的单调性、最值,解题时候要注意导函数的零点和导函数的符号,有时可将目标不等式等价变形。13.(分类讨论不全而致错)已知函数. (1)若时,讨论函数的单调性;(2)若,过作切线,已知切线的斜率为,求证: .调递减区间为;若,当或时, ;当时, ;所以的单调递增区间为;单调递减区间为.综上,当时, 单调递增区间为;单调递减区间为, .当时, 的单调递减区间为;当时, 单调递增区间为 ;单调递减区间为,.(2) ,设切点,斜率为 所以切线方程为 ,将代入得: 由 知代入得:,令,则恒成立,在单增,且, ,令,则,则,在递减,且.【注意问题】讨论函数的单调性就是研究导函数的符号问题,而导函数的零点起到关键性作用,解题时要注意这些零点的大小关系以及与定义域的关系。三.新题好题好好练14已知曲线的一条切线方程为,则实数()A1BCD【答案】B15已知函数的导函数为,且满足,若,则()ABC1D2【答案】D【解析】因为,所以,易知,则,所以,于是由,得,解得,故选D16【甘肃省会宁第三次月考】设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处的切线的斜率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】对函数,求导可得,在点处的切线方程为,在点处切线斜率为4,故选C.17【广东省阳春一中第三次月考】设点为函数与图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D18已知曲线,则曲线的切线的斜率最小值为_【答案】【解析】令,则,所以,所以,则,当且仅当时等号成立,取得最小值19已知曲线:,曲线:,若对于曲线上任意一点的切线,在曲线上总存在与垂直的切线,则实数的取值范围是_【答案】
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