正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)【要点梳理】要点一：周期函数的定义函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.要点诠释：1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数ysinx余弦函数y=cosx定义域RR值域-1，1-1，1奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间kZ增区间减区间增区间减区间最值点kZ最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心kZ对称轴kZ要点诠释：（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域要点三：正弦型函数和余弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数要点诠释：判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出要点诠释：若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1求函数的定义域；【答案】【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x10，即2cos2xcos x10，解得画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示 定义域为【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围举一反三：【变式1】求函数的定义域【解析】依题意得2sin x10，即，（kZ），函数的定义域为例2求下列函数的值域：（1）y=32sin x（2），；（3）【答案】（1）1，5（2）0，2（3）【解析】 （1）1sin x1，22sin x2，22sin x2，132sin x5，函数的值域为1，5（2），0y2函数的值域为0，2（3），当cos x=1时，函数的值域为【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质举一反三：【变式1】 求y=cos2x+4sin x2的值域【解析】y=cos2x+4sin x2=sin2x+4sin x1=(sin x2)2+31sin x1，当sin x=1时，ymin=6；当sin x=1时，ymax=2函数的值域为6，2类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3求的单调区间【思路点拨】要将原函数化为再求之.【解析】，函数的递增区间就是函数的递减区间（kZ），得（kZ）函数的递增区间为（kZ）【总结升华】函数的单调区间的确定，基本思想是把 看作一个整体举一反三：【变式1】（2015春 河南期中）已知函数 （1）求该函数的周期，并求函数在区间0，上的值域；（2）求该函数在2，2上的单调增区间【答案】（1）T=4，；（2）单调递增区间为：和【解析】（1）由题意函数的周期，x0，即函数在区间0，上的值域为；（2）原函数可化为，原函数的增区间即为的减区间，令，解得，kZ，令k=0，可得，令k=1，可得，x2，2，函数的单调递增区间为：和类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）； 【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为，再按步骤去判断（2）先求函数的定义域，然后判断【解析】（1）函数定义域为R，且，显然有恒成立函数为偶函数（2）由2sin x10，即，得函数定义域为（kZ），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数举一反三：【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：对任意的，都是非奇非偶函数；不存在，使既是奇函数，又是偶函数；存在，使是奇函数；对任意的，都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2k，kZ时，=sinx是奇函数.当=2(k+1)，kZ时仍是奇函数.当=2k+，kZ时，=cosx，当=2k-，kZ时，=-cosx，都是偶函数.所以和都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.和都是假命题.【解析】，k(kZ)；或者，+k(kZ)；或者，+k(kZ)类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5（2015春 湖南益阳月考）已知函数（1）求函数的最值及相应的x值集合；（2）求函数的单调区间；（3）求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合；（2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；（3）根据三角函数的对称性即可求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心【解析】（1）当，即，kZ，即，kZ，此时函数取得最大值为2；故f（x）的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为；（2）由，得，kZ函数f（x）的单调递增区间为，kZ由，得，kZ函数f（x）的单调递减区间为，kZ（3）由，得，kZ即函数f（x）的图象的对称轴为，kZ由，得，kZ，即对称中心为，kZ【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心（1）；（2）.【解析】（1）令，则的对称轴方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）函数的对称轴方程是（kZ） 同理，对称中心的横坐标为，即对称中心为（2）令，则的对称轴方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）函数的对称轴方程是（kZ） 同理，对称中心的横坐标为，即对称中心为（kZ）类型五：正弦函数、余弦函数的周期例6求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）令，而，即T=2令z=2x，则，即，T=令，则，T=4原式，举一反三：【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）是 （2）不是 （3）类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用例7已知函数（1）求其定义域和值域；（2）判断奇偶性；（3）判断周期性，若是周期函数，求周期；（4）写出单调区间【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法在（4）中，可以将看成是由，u=|t|，t=sin x复合而成【解析】（1）由，得，xk，kZ函数的定义域为x|xk，kZ，函数的值域为y|y0（2），函数是偶函数（3），函数是周期函数，且周期是（可结合图象验证）（4）设t=|sin x|，当时，sin x0，t=|sin x|为增函数；当时，sin x0，t=|sin x|为减函数又函数为减函数，函数的单调增区间为，kZ；单调减区间为，kZ举一反三：【变式】已知函数 （1）画出函数的简图；（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；（3）指出这个函数的单调增区间【解析】 （1）函数图象如右图所示（2）由图象知函数的周期是2（3）由图象知函数的单调区间为（kZ）【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为，实际上通过图象可知，在一个区间长为2的区间内函数值才发生周期性变化