5.3目标规划模型1. 目标规划模型概述1）引例目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面 的例子，我们可看出这两者的区别。例1某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A、B两种产品，每 生产一件A产品或B产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或400件B产品可卖出去，每出售一件A产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目 标进行相应的生产。（1）尽量避免生产能力闲置；（2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A产品更感兴趣；（3）尽量减少加班时间。显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的， 对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。2）相关的几个概念（1）正、负偏差变量d +、d-正偏差变量d+表示决策值气 =1,2,n）超过目标值的部分；负偏差变量 d -表示决策值气 =1,2,n）未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量 d +、d-的相互关系如下：当决策值xG =1,2,n）超过规定的目标值时，d + 0, d-=。；当决策值 xG =1,2n）未超过规定的目标值时，d += 0d- 0 ；当决策值 X J1,2n）正好等于规定的目标值时，d += 0d- = 0。（2）绝对约束和目标约束绝对约束是必须严格满足的等式约束或不等式约束，前述线性规划中的约束 条件一般都是绝对约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中允许目 标值发生一定的正偏差或负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏 差变量d +、d-来实现。（3）优先因子（优先级）与权系数目标规划问题常要求许多目标，在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达 到的目标赋予优先因子P1，要求第二位达到的目标赋予优先因子P2，并 规定Pk Pk+1，即Pk+1级目标的讨论是在Pk级目标得以实现后才进行的（这里 k =】，2,，n）。若要考虑两个优先因子相同的目标的区别，则可通过赋予它们不同的权系数七来完成。3）目标规划模型的目标函数目标规划的目标函数是根据各目标约束的正、负偏差变量d +、d -和其优先 因子来构造的，一般而言，当每一目标值确定后，我们总要求尽可能地缩小与目 标值的偏差，故目标规划的目标函数只能是 min乙=/（d +，d -）的形式。我们 可将其分为以下三种情形：（1）当决策值七 = 1,2,，n）要求恰好等于规定的目标值时，这时正、负 偏差变量d +、d -都要尽可能小，即对应的目标函数为：min z = /（d + d -）；（2）当决策值X（i = 1,2,，n）要求不超过规定的目标值时，这时正偏差变 量d +要尽可能小，即对应的目标函数为：min z = /（d + ）；（3）当决策值X（i = 1,2,n）要求超过规定的目标值时，这时负偏差变量 d-要尽可能小，即对应的目标函数为：min乙=f （d-）。目标规划数学模型的一般形式为：min z 圣（孔-d -+ w + d +）llk k Ik kl=1k=1Ec x + dj -d += g , (k = 1,2,k,g 为相应的目标值.). kj j k k kk La x.b , (i = 1,2,，m)Xz 0,( j = 1,2, , n)jd-, d + 0, (k = 1,2,，K)kk有了以上的讨论，在例1中，设x1, x2分别表示产品A、B的生产数量，d1主二pzt古台匕留白妇ph+r日1 d +主千七口苇|工口+、日1 d-主二p古口 a 沿台匕；士苓n屋将隹曰片 表示生产能匕力闲置的时|日，1表示刀廿班土盯I日，2表示产品A没能匕达到乍销售目标的数目，d -表示产品B没能达到销售目标的数目。因要求尽量避免生产能力闲留 r R刀、十口葛1工口f ifi曰 士他 击头 x + x + d d + = 500 / d - d +直及尽量涉减少加班土廿丁间，故有曰标约束条1件为：1211( 1、1要尽可能小)，又要求尽可能多地卖出产品，故有目标约束条件为：x + d - = 300, x + d - = 400 / d-d -距尺 声台匕/【、 攵孑 中 a 古口 散agybHT侏1223( 2、3要尽可能小)，多卖出 A产品的要求可体现在目标函数的权系数中，于是可得到例1的目标规划模型为：min z = Pd- + 2Pd- + P d- + P d + 1 12 22 33 1满足的约束条件为：C.7, ECx + x + d- d + 5001211x + d-= 300x2 + d-= 400x , x , d -, d -, d -, d + 0 侦 1212312. 应用实例例1.职工的调资方案问题1) 问题的提出某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，要求相关部门遵守以下的规定：(1) 年工资总额不超过60000元；(2) 每级的人数不超过定编规定的人数；(3) n、B级的升级面尽可能达到现有人数的20%；(4) B级不足编制的人数可录用新职工，又I级的职工中有10%的人要退休。相关资料汇总于下表中，试为单位领导拟定一个满足要求的调资方案。等级工资额（元/年）现有人数编制人数I20001012n15001215m10001515合计37422）模型分析与变量假设显然这是一个多目标规划的决策问题，适于用目标规划模型求解，故需要确 定该问题与之对应的决策变量、目标值、优先等级及权系数等。设气、X2、分 别表示提升到I、n级和录用到B级的新职工人数，由题设要求可确定各目标的 优先因子为：Pi年工资总额不超过60000元；P2每级的人数不超过定编规定的人数；P3 n、B级的升级面尽可能达到现有人数的20%；下面再确定目标约束，因要求年工资总额不超过60000元，所以有：onnn /in i n z i（m i 尤、i 1 1 勺 X i X 、【1 nrm 0(i =l i j j121,2,3; j2=1,2,3,4,5,6)311=3=3=0=2.4=3求解后可得到该问题的一个多重解，据具体情况进行决策：并将这些解汇总于下表中，以供领导根变量含义解1解2解3解4x1x晋升到I级的人数晋升到n级的人2. 42. 4332x数晋升到B级的人33353数0335d -工资总额的节余数6300330030000d -2I级缺编人数0. 60. 600d -3n级缺编人数2. 42. 431d -4B级缺编人数300. 60d +5n级超编人数0000. 6d +B级超编人数6例2.物资的调运安排问题1)问题的提出0002有一供需不平衡(供应量需求量)的物资调运问题如下表所示：请为其制订物资调运方案，使之满足以下的目标要求:P1 尽量保证满足重点客户83的需求指标；P2 要求总运费不超过预算指标66 X 104元；P3至少满足客户I,气，B3需求指标的80%；P4 由气至B1的运输量按合同规定不少于1万吨；P5 1至B 3的道路危险，运量要减少到最低点。客运价 仓库B1B2B3供应量(万吨)A1C11C12C135A2C21C22C238A3C31C32C337需求量(万吨)86102)模型分析与变量假设这仍然是一个多目标决策规划问题，虽然未给出给出仓库到客户之间的单位 运价，但这并不影响我们的分析与建模。设从仓库A =1,2,3)调拨到客户18 (j =1,2,3)的货运量为X，因该问题的供应量 小于需求量，故从仓库A (i =1,2,3)调拨到客户Bj的货运量 x + x + x(j = 1,2,3)/rAB 土刀 uc 匚1Pu任j司mpu日. m up1 j2 j3 j不可能超过所要求的需求量，因此，d + = 0, d - 0 (i = 1,2,3) 于是有：x + x + x + d - = 81121311x + x + x + d - = 6x + x + x + d- = 10又目标P1为：尽量保证满足重点客户B3的需求指标，故有：X + x + x + d d+ = 10且d4, d4都要尽可能小;对目标P2 :因要求总运费不超过预算指标66x104元，故有:空 c x + d d + = 66 x 104 ij ij 55i =1 j=1，且d 5应尽可能小;对目标P3 :因要求至少满足客户B1, B2, B3需求指标的8