第三节空间点、直线、平面之间的位置关系时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2013安徽卷)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析B是公理2，C是公理1，D是公理3，只有A不是公理答案A2已知平面外一点P和平面内不共线三点A，B，C，A，B，C分别在PA，PB，PC上，若延长AB，BC，AC与平面分别交于D，E，F三点，则D，E，F三点()A成钝角三角形 B成锐角三角形C成直角三角形 D在一条直线上解析D，E，F为已知平面与平面ABC的公共点，D，E，F共线答案D3已知空间中有不共线的三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCD BAB与CD异面CAB与CD相交 D以上情况均有可能解析若三条线段共面，则直线AB与CD相交或平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案D4若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解析依题意，直线lA(如图)内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B.答案B5(2014桂林中学上学期期中)下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为() A1B2C3D4解析只有第四个图中的四点不共面答案A6(2013江西卷)如下图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么mn()A8B9C10D11解析如下图，CE平面ABPQ，CE平面A1B1P1Q1，CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，m4；EF平面BPP1B1，且EF平面AQQ1A1，EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n4，故mn8，选A.答案A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPb解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案8在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是_(把符合要求的命题序号都填上)解析对于可举反例，如ABCD，A，B，C，D没有三点共线，但A，B，C，D共面对于由异面直线定义知正确，故填.答案9(2013安徽卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形当CQ时，S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R当CQ1时，S为六边形当CQ1时，S的面积为解析对于，如图1，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，当CQ时，PQ，这时截面S交棱DD1于D1，APD1Q，且PQAD1，截面S为等腰梯形，当CQ时，截面S与棱DD1相交，截面S为四边形，故正确；对于，如图2，延长QR交DD1的延长线于N点，连接AN交A1D1于M，取AD中点G，作GHPQ交DD1于H点，可得GHAN且GHAN，设CQt(0t1)，则DN2t，ND12t1，当t时，可得C1R，故正确，当t1时，S为五边形，故错误，当t1时，M为A1D1的中点，S为菱形PC1MA，AC1，MP，S的面积为AC1MP，故正确答案三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线证明(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.则Q是与的公共点，同理，P点也是与的公共点所以PQ.又A1CR，所以RA1C，R且R.则RPQ，故P，Q，R三点共线11已知空间四边形ABCD中，ABCD3，E，F分别是BC，AD上的点，并且BEECAFFD12，EF，求AB和CD所成角的余弦值解如图所示，在BD上取点G，使BGGD12，连接EG，FG.在BCD中，EGCD，且GECD13，同理FGAB，且FGAB23，EG与FG所成的角即为AB与CD所成的角在BCD中，EGCD，CD3，且EGCD13，EG1.在ABD中，FGAB，AB3，FGAB23，FG2.在EFG中，EG1，FG2，EF，由余弦定理得cosEGF，异面直线所成角的范围是090，cos0.AB与CD所成角的余弦值为.12(2013湖南卷)如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动()证明：ADC1E；()当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积解()证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.由，得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.()因为ACA1C1，所以A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，A1C1E60.因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E.故C1E2，又B1C12，所以B1E2.从而V三棱锥C1A1B1ESA1B1EA1C12.