谢谢观赏谢谢观赏常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1 .一阶微分方程的通解的图像是2维空间上的一族曲线.2 .二阶线性齐次微分方程的两个解y/x）,y2（x）为方程的基本解组充分必要条件是3 .方程y“2y+y=0的基本解组是.4 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.5 .方程曳=匚的常数解是.dx二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程d!=x一3十y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面7 .方程曳=Jy+1（）奇解.dx（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8 .f（y）连续可微是保证方程dy=f（y）解存在且唯一的（）条件.dx（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分9 .二阶线性非齐次微分方程的所有解（）.（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间、工口dyo-2,.10 .万程=3y3过点（0,0）有（B）.dx（A）无数个解（B）只有一个解（C）只有两个解（D）只有三个解三、计算题（每小题6分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.12.dy=ylny”1.(y)2dx x xdy513 .二yxydx22、14 .2xydx(x-y)dy=015 .y=xy2(y)3四、计算题(每小题10分，本题共20分)16 .求方程y5y=-5x2的通解.17 .求下列方程组的通解.dx-ydtsintdy=-xdt五、证明题（每小题10分，本题共20分）18 .设f（x）在0,十叫上连续，且limf（x）=0,求证：方程x二dyy=f（x）dx的一切解y（x）,均有limy（x）=0.x_）二19 .在方程y+p（x）y+q（x）y=0中，p（x）,q（x）在（-o,+比）上连续，求证：若p（x）恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W（x）是（8，+凶）上的严格单调函数.常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.22.线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）xx3.e,xe4.开5.y=1二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6.D7.C8.B9.C10.A三、计算题（每小题6分，本题共30分）11.解：y=1为常数解（1分）当y00,y。1时，分离变量取不定积分，得f-d=dx+C（3分）ylny通积分为lny=Cex（6分）注：y=1包含在常数解中，当c=0时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。13.解：方程两端同乘以y1得5dyUy=yxx（1分）dx令y=z，则-4丫业=业，代入上式，得dxdx1dz八一-z=x（3分）4dx这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为z=cex（4分）利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为-4x1,z=Cex+（5分）4因此原方程通解为丫乂=Cex-x+1（6分）4.：Mc：N一、14.解：因为=2x=，所以原方程是全微分方程.（2分）二y二x取（x,y）=（0,0）,原方程的通积分为（4分）xy202xydx-0ydy=C计算得213x2yy3=C315 .解：原方程是克莱洛方程，通解为3y=Cx2C四、计算题（每小题10分，本题共20分）16 .解：对应齐次方程的特征方程为255九=0）特征根为入1二0,X.2=5,齐次方程的通解为_5xy-C1c2e因为ot=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为,、，A2y1（x）=x（Ax代入原方程，比较系数确定出BxC)A=1,B3原方程的通解为_2一25122x-x52517.解：齐次方程的特征方程为21=0特征根为-i求得特征向量为因此齐次方程的通解为令非齐次方程特解为costL=C1(t)|b-sint.tsintjsint。8stCi(t),C2满足costJ,-sint解得sintlC1(t)I_s=sintc0st。(t)Jl0-cost-Ci(t)=co-,C2(t)=1sint积分，得C1(t)=lnsint,C2(t)=t通解为（6分）（6分）（1分）（2分）（4分）（6分）（9分）（10分）（1分）（2分）（3分）（4分）（5分）（6分）（8分）（9分）.yC2sin11costlnsint|+tsintCost-sintInsint|+1cost五、证明题(每小题10分，本题共20分)18.证明设y=y(x)是方程任一解，满足y(xo)=y,该解的表达式为y(x)当e0:f(s)e(J0)dsx0X_x0e取极限limy(x)=limy0lim-x.x)二e-x0x)二:f(s)e(sz)dsx00,若f(s)e(s)ds：二二x019.证明基行列式在(=0limJ二f(x)e(x40,若f(s)e(s-x0)ds=:-x:设yi(x),y2(x)是方程的基本解组，则对任意xw(-叫十好),，+g)上有定义，且W(x)#0.又由刘维尔公式-xW(x)=W(x0)ex0p(s)ds,x。三(-00,+=0)W(x)=W(x0)ep(s)ds0p(x)由于W(x0)0,p(x)0,于是对一切xW(-co,+8),有W(x)0或W(x)0故W(x)是(-8，十七)上的严格单调函数.(10分)(4分)(10分)它们朗斯(5分)(10分)