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www.ks5u.com课时跟踪检测(十九)突破“函数与导数”压轴大题的6个“卡壳点”1(2019福建三校联考)已知函数f(x)exax,g(x)ln(xm)ax1.(1)当a1时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意的x(m,),恒有f(x)g(x)成立,求实数m的取值范围解:(1)当a1时,f(x)exx,则f(x)1.令f(x)0,得x0.当x0时,f(x)0,当x0时,f(x)0,函数f(x)在区间(,0)上单调递减,在区间(0,)上单调递增当x0时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(0)1.(2)由(1)得exx1恒成立f(x)g(x)exaxln(xm)ax1exln(xm)1.故x1ln(xm)1,即mexx在(m,)上恒成立当m0时,在(m,)上,exx1,得0m1;当m0时,在 (m,)上,exx1,mexx恒成立于是m1.实数m的取值范围为(,12设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a1,k为整数,且当x0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值解:(1)f(x)的定义域为(,),f(x)exa.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(,)上单调递增若a0,则当x(,ln a)时,f(x)0;当x(ln a,)时,f(x)0,所以f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增(2)由于a1,所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时,(xk)f(x)x10等价于kx(x0)令g(x)x,则g(x).由(1)知,函数h(x)exx2在(0,)上单调递增而h(1)0,h(2)0,所以h(x)在(0,)上存在唯一的零点故g(x)在(0,)上存在唯一的零点设此零点为,则(1,2)当x(0,)时,g(x)0;当x(,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,)上的最小值为g()又由g()0,可得e2,所以g()1(2,3)由于式等价于kg(),故整数k的最大值为2.3(2019石家庄质检)已知函数f(x)x(ln xax)(aR)(1)若a1,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1x2,求证:f(x2).解:(1)由已知得,f(x)x(ln xx),当x1时,f(x)1,f(x)ln x12x,当x1时,f(x)1,所以所求切线方程为y1(x1),即xy0.(2)证明:由已知条件可得f(x)ln x12ax有两个不同的零点,且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反令f(x)h(x),则h(x)2a(x0),若a0,则h(x)0,h(x)单调递增,f(x)不可能有两个零点;若a0,令h(x)0得x,可知h(x)在上单调递增,在上单调递减,令f0,解得0a, 此时,f0,f2ln a10,所以当0a时,函数f(x)有两个极值点x1,x2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)因为f(1)12a0,所以0x11x2,f(x)在1,x2上单调递增,所以f(x2)f(1)a.4(2019成都模拟)已知函数f(x),aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)(xk)exk,kZ,e2.718 28为自然对数的底数当a1时,若x1(0,),x2(0,),不等式5f(x1)g(x2)0成立,求k的最大值解:(1)f(x)(x0)由f(x)0,得xe1a.易知f(x)在(0,)上单调递减,当0xe1a时,f(x)0,此时函数f(x)单调递增;当xe1a时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减函数f(x)的单调递增区间是(0,e1a),单调递减区间是(e1a,)(2)当a1时,由(1)可知f(x)f(e1a)1,x1(0,),x2(0,),5f(x1)g(x2)0成立,等价于5(xk)exk0对x(0,)恒成立,当x(0,)时,ex10,xk对x(0,)恒成立,设h(x)x,则h(x).令F(x)exx6,则F(x)ex1.当x(0,)时,F(x)0,函数F(x)exx6在(0,)上单调递增而F(2)e280,F(3)e390.F(2)F(3)0.存在唯一的x0(2,3),使得F(x0)0,即ex0x06.当x(0,x0)时,F(x)0,h(x)0,此时函数h(x)单调递减;当x(x0,)时,F(x)0,h(x)0,此时函数h(x)单调递增当xx0时,函数h(x)有极小值(即最小值)h(x0)h(x0)x0x01(3,4)又kh(x0),kZ,k的最大值是3.5(2018广安一模)已知函数f(x)ln xx2(a1)x(aR)(1)当a0时,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)有两个相异零点x1,x2,求a的取值范围,并证明x1x22.解:(1)由f(x)ln xx2(a1)x(x0),得f(x)axa1.当a0时,ax10,当0x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0,故当a0时,函数f(x)在x1处取得极大值,且f(1)1,无极小值(2)证明:当a0时,由(1)知f(x)在x1处取得极大值,且f(1)1,当x0时,f(x),又f(2)ln 220,f(x)有两个相异零点,则f(1)10,解得a2.当1a0时,若0x1,则f(x)0;若1x,则f(x)0;若x,则f(x)0,则f(x)在x1处取得极大值,在x处取得极小值,由于f(1)10,则f(x)仅有一个零点当a1时,f(x)0,则f(x)仅有一个零点当a1时,若0x,则f(x)0;若x1,则f(x)0;若x1,则f(x)0,则f(x)在x1处取得极小值,在x处取得极大值,由于fln (a)10,则f(x)仅有一个零点综上,f(x)有两个相异零点时,a的取值范围是(2,)两零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,不妨设0x11x22.欲证x1x22,只需证明x22x1,又由(1)知f(x)在(1,)上单调递减,故只需证明f(2x1)f(x2)0即可f(2x1)ln(2x1)(2x1)2(a1)(2x1)ln(2x1)x(a1)x12.又因为f(x1)ln x1x(a1)x10,所以f(2x1)ln(2x1)ln x12x12,令h(x)ln(2x)ln x2x2(0x1),则h(x)20,则h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)h(1)0,即f(2x1)0,所以x1x22.
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