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线性代数(经管类)综合试题一(课程代码 4184)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设D=M0,则D1= ( B )A.2M B.2M C.6M D.6M2.设 A、B、C为同阶方阵,若由AB = AC必能推出 B = C,则A应满足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.设A,B均为n阶方阵,则 ( A)A.|A+AB|=0,则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时,有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A,|A|=1,则A-1= ( B) A. B. C. D.5.设两个向量组与,则下列说法正确的是( B )A.若两向量组等价,则s = t .B.若两向量组等价,则r()= r() C.若s = t,则两向量组等价.D.若r()= r(),则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与,则下列成立的是( C ) A. r与s未必相等 B. r + s = mC. r = s D. r + s m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o,下列命题正确的是( D )A. Ax = o有解时,Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时,Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时,Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时,Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解,则k = ( D)A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )A. |A|0 B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1,2,0,1,它们的余子式的值依次为5,3,-7,4,则D = -15 12.若方阵A满足A2 = A,且AE,则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵,且 ,则|2A|= 4 14.设矩阵的秩为2,则t = -3 15.设向量(6,8,0),=(4,3,5),则(,)= 0 16.设n元齐次线性方程组Ax = o,r(A)= r n,则基础解系含有解向量的个数为 n-r个.17.设(1,1,0),(0,1,1),=(0,0,1)是R3的基,则=(1,2,3)在此基下的坐标为 (1,1,2)18.设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为 1,1,4 .19.二次型的矩阵A= 20.若矩阵A与B=相似,则A的特征值为 1,2,3三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.求行列式的值解:=xy=xy=xy22.解矩阵方程:. 解:令A=,B=因为(AE)=,所以A=由AX=B,得X= AB= 23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 ),=(1,1, 1, 1 ),=(1, 3, 3, 5 ),=(4,2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.解:将已知向量按列构成矩阵,并对其进行行变换:() = 所以,r()=3,极大无关组为,;=7-324.a取何值时,方程组有解?并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示). 解:对方程组的增广矩阵施以初等变换:= 若方程有解,则r()=r(A),故a=5当a=5时,继续施以初等行变换得:,原方程组的同解方程组为:,x,x为自由未知量,令x=x=0得原方程组的一个特解:与导出组同解的方程组为: x,x为自由未知量,令分别取,得到导出组的基础解系:,所以,方程组的全部解为v=+c+c,其中c,c为任意常数。25.已知,求A的特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P 1AP =(对角形矩阵)解:矩阵A的特征多项式为:=所以,A的特征值为:对于:,求齐次线性方程组的基础解系,,得基础解系:从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为: 不全为零。对于,求齐次线性性方程组(E-A)x=O的基础解系,得基础解系:,从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为:因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量,所以,A相似于对角矩阵,且 26.用配方法将下列二次型化为标准形: 解: = = = =令,即得二次型的标准型为:. 四、证明题(本大题共6分)27.设向量,证明向量组是R3空间中的一个基.证:因为,所以线性无关,所以向量组是空间的一个基。 线性代数(经管类)综合试题二(课程代码 4184)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).A1 B0 C-1 D-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D).AA可逆 BB可逆 C|A|=|B| DAB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则 ( A).A BC D4.矩阵的秩为2,则 = ( B).A2 B1 C0 D5.设34矩阵A的秩r(A)=1,是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量,则方程组的基础解系为 ( D).A B C D6.向量线性相关,则( C ).Ak =-4 Bk = 4 Ck =-3 Dk = 3 7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有 ( B ).Ac1+c2 =1 Bc1= c2 Cc1+ c2 = 0 Dc1= 2c2 8.设A为n(n2)阶方阵,且A2=E,则必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩阵等于EDA的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1, 则A-1的特征值为 ( D ).A1, 2 B2, 1, 1 C, 1 D, 1, 110.二次型是 ( A ).A正定的 B半正定的 C负定的 D不定的二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.=_5_12.设A为三阶方阵,且|A|=4,则|2A|=_32_13.设A=, B =, 则ATB =_14.设A =,则A-1=_15.向量表示为向量组的线性组合式为_16.如果方程组有非零解, 则k =_-1_17.设向量与正交,则a =_2_18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型_19.已知矩阵A与对角矩阵=相似,则A2=_E_20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵,且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为_三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.计算行列式的值. 解:原式= = 22.设矩阵A=,B=,求矩阵A-1B . 解:(AB)= 23.设矩阵,求k的值,使A的秩r(A)分别等于1,2,3. 解:对矩阵A施行初等变换: 当k=1时,矩阵A的秩r(A)=1;当k=-2时,矩阵A的秩r(A)=2;当k时,矩阵A的秩r(A)=3. 24.求向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解:将所给列向量构成矩阵A,然后实施初等行变换: 所以,向量组的秩,向量组的一个极大无关组为: 且有. 25.求线性方程组的基础解系,并用基础解系表示其通解. 解:对方程组的系数矩阵(或增广矩阵)作初等行变换: 与原方程组同解的方程组为:,其中x,x为自由未知量。令 分别取 , 得基础解系:方程组的通解为:(c,c为任意常数) 26.已知矩阵,求正交矩阵P和对角矩阵,使P-1AP=. 解:矩阵A的特征多项式为: 得矩阵A的所有特征值为:对于 ,求方程组的基础解系。 ,得基础解系为: , 将此线性无关的特征向量正交化,得: ,再标准化,得: ,对于解方程组,方程组的基础解系为 ,将其单位化,得 , 令 则P是正交矩阵,且PAP=四、证明题(本大题共6分)27.设向量组线性无关,证明:向量组也线性无关. 证:令整理得: 因为线性无关,所以解得: 故线性无关。
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