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2016-2017学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质第3节相似三角形的判定及性质第2课时相似三角形的性质课后练习新人教A版选修4-12016-2017学年高中数学 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第3节 相似三角形的判定及性质 第2课时 相似三角形的性质课后练习 新人教A版选修4-1一、选择题(每小题5分,共20分)1按如下方法将ABC的三边缩小为原来的,如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D、E,F.得到DEF.ABC和DEF是位似图形;ABC与DEF是相似图形;ABC与DEF的周长比为21;ABC与DEF的面积比为41.则以上说法正确的有()A1个B2个C3个 D4个解析:由相似三角形的性质定理及其推论可知正确答案:D2在ABC和DEF中,AB2DE,AC2DF,AD,如果ABC的周长是16,面积是12,那么DEF的周长、面积依次为()A8,3 B8,6C4,3 D4,6解析:AB2DE,AC2DF,AD,ABCDEF,且相似比为2.ABC的周长是16,面积是12,DEF的周长是8,面积是3.答案:A3如图,D、E、F是ABC的三边中点,设DEF的面积为,ABC的周长为9,则DEF的周长与ABC的面积分别是()A,1 B9,4C,8 D,16解析:D、E、F分别为ABC三边的中点,EF綊BC,DE綊AC,DF綊ABDFEABC,且.又lABC9,lDEF.又,SDEF,SABC1.故选A答案:A4两个相似多边形面积的比为m,对应对角线比为n,且mn12,则()A3 B4C D无法确定解析:由相似三角形的性质定理的推论可知.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)5两相似三角形的相似比为13,则周长之比为_,内切圆面积之比为_.解析:由性质2和相似三角形性质的推广易知答案:13196如图,在RtABC中,ACB90,直线EFBD,交AB于点E,交AC于点G,交AD于点F,若SAEGS四边形EGCB,则_.解析:SAEGS四边形EGCB,.由相似三角形的性质定理,得,E为AB的中点由平行线等分线段定理的推论,知G为AC的中点EFBC,ACBC,FGAC又点G为AC的中点,FG为AC的中垂线FCFAEFBD,E为AB的中点,F为AD的中点.三、解答题(每小题10分,共20分)7如图所示,在ABC中,DEBC,在AB边上取一点F,使SBFCSADE,求证:AD2ABBF.证明:DEBC,ADEABC,2.又,且SBFCSADE,.AD2ABBF.8如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,直线l平行于BD且与AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P,求证:PMPNPRPS.证明:BOPM,BOAMPA.DOPS,DOASPA.,即.由BOPR得BOCRPC,得.由DOPN得DOCNPC得.,即,.PMPNPRPS.9(10分)如图,已知矩形ABCD的边长AB2,BC3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点连接AQ、DQ,过P作PEDQ交AQ于E,作PFAQ交DQ于F.(1)求证:APEADQ;(2)设AP的长为x,试求PEF的面积SPEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,SPEF取得最大值?最大值为多少?(3)当Q在何处时,ADQ的周长最小?(必须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)解析:(1)证明:PEDQ,APEADQ,AEPAQD,APEADQ.(2)APEADQ,2.ADBC,ADQ的高等于ABSADQ3.SAPEx2.同理,由PFAQ,可得PDFADQ,2.PD3x,SPDF(3x)2.PEDQ,PFAQ,四边形PEQF是平行四边形SPEFSPEQF(SADQSAPESPDF)x2x2.当x时,即P是AD的中点时,SPEF取得最大值,最大值为.(3)作A关于直线BC的对称点A,连接DA交BC于Q,则此Q点就是使ADQ周长最小的点,此时Q是BC的中点5
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